Question

設(shè)f(x)＝2x³＋ax²＋bx＋1的導數(shù)為f′(x)，若函數(shù)y＝f′(x)的圖象關(guān)于直線x＝－對稱，且f′(1)＝0.
(1)求實數(shù)a，b的值；
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間 。

Answer 1

（1）a=3、  b=—12；(2)單調(diào)等增區(qū)間為（-∞，-2）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-2，1）。

解析試題分析：(1) 因為f′(x) 的圖象關(guān)于直線x＝－對稱，所以，所以a=3；又f′(1)＝0，所以b=—12。
(2)由(1)知，知f（x）=2x³+3x²-12x+1，所以f′（x）=6x²+6x-12=6（x-1）（x+2），
令f′（x）=0，得x=1或x=-2，
當x∈（-∞，-2）時，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，-2）上是增函數(shù)；
當x∈（-2，1）時，f′（x）＜0，f（x）在（-2，1）上是減函數(shù)；
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)。
所以f(x)的單調(diào)等增區(qū)間為（-∞，-2）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-2，1）。
考點：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；二次函數(shù)的性質(zhì)。
點評：當f(x)不含參數(shù)時，可通過解不等式f′（x）＞0(或f′（x）＜0)直接得到單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)區(qū)間。但要注意函數(shù)的定義域。