Question

如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=

2

，BD⊥CD．將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A'BD⊥平面BCD，則BC與平面A′CD所成的角的正弦值為

3

3

．

Answer 1

分析：先證明BA′⊥平面A′CD，可得∠BCA′為BC與平面A′CD所成的角，即可求出BC與平面A′CD所成的角的正弦值．

解答：解：∵A′B=A′D=1，BD=

2

，∴A′B²+A′D²=BD²
∴BA′⊥A′D
∵平面A'BD⊥平面BCD，BD⊥CD，平面A'BD∩平面BCD=BD
∴CD⊥平面A'BD
∵BA′?平面A'BD
∴BA′⊥CD
∵A′D∩CD=D
∴BA′⊥平面A′CD
∴∠BCA′為BC與平面A′CD所成的角
∵CD=1，BD=

2

，
∴BC=

3

∴BC與平面A′CD所成的角的正弦值為

1

3

=

3

3

故答案為：

3

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定與性質(zhì)，其中利用面面垂直的性質(zhì)定理，確定BA′⊥平面A′CD是解答本題的關(guān)鍵．