Question

（2012•青州市模擬）如圖，已知平面BCC₁B₁是圓柱的軸截面（經(jīng)過(guò)圓柱的軸的截面），BC是圓柱底面的直徑，O為底面圓心，E為母線CC₁的中點(diǎn)，已知AB=AC=AA₁=4．
（Ⅰ）求證：B₁O⊥平面AEO；
（Ⅱ）求二面角B₁-AE-O的余弦值；
（Ⅲ）求三棱錐A-B₁OE的體積．

Answer 1

分析：（I）建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積，確定線線垂直，即可確定線面垂直；
（II）求出平面AEO、平面 B₁AE的法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角B₁-AE-F的余弦值；
（Ⅲ）確定AO⊥EO，計(jì)算AO，EO的長(zhǎng)，利用等體積，即可求得結(jié)論．

解答：（I）證明：依題意可知，AA₁⊥平面ABC，∠BAC=90°，如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，因?yàn)锳B=AC=AA₁=4，則A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），O（2，2，0），B₁（4，0，4）

B1O

=(-2，2，-4)，

EO

=(2，-2，-2)，

AO

=（2，2，0）
∴

B1O

•

EO

=0，∴

B1O

⊥

EO

∴B₁O⊥EO
同理B₁O⊥AO
∵AO∩EO=O，AO，EO?平面AEO
∴B₁O⊥平面AEO；         （4分）
（II）解：平面AEO的法向量為

B1O

=(-2，2，-4)，設(shè)平面B₁AE的法向量為

n

=(x，y，z)，
∴

n • AE =0 n • B1A =0

，∴

2y+z=0 x+z=0

令x=2，則

n

=(2，1，-2)
∴cos＜

n

，

B1O

＞=

6

9 × 24

=

6

6

∴二面角B₁-AE-F的余弦值為

6

6

                         （8分）
（Ⅲ）解：∵

AO

•

EO

=0，∴

AO

⊥

EO

，∴AO⊥EO
∵AO=

22+22+0

=2

2

，EO=2

3

∴三棱錐A-B₁OE的體積=VB1-AOE=

1

3

S_△AOE•B₁O=

1

3

×

1

2

×2

2

×2

3

×2

6

=8         （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查線面垂直，考查面面角，考查三棱錐體積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是利用空間向量法，確定平面的法向量．