如圖，已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向右，過焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)為2，過C上一點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線交拋物線于P,Q兩點(diǎn).

（1）若直線PQ過定點(diǎn)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）對(duì)于第（1）問的點(diǎn)A，三角形APQ能否為等腰直角三角形？若能，試確定三角形APD的個(gè)數(shù)；若不能，說明理由.

（1）,（2）一個(gè)

解析試題分析：（1）確定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程只需一個(gè)獨(dú)立條件，本題條件為已知通徑長(zhǎng)所以拋物線的方程為.直線過定點(diǎn)問題，實(shí)際是一個(gè)等式恒成立問題.解決問題的核心是建立變量的一個(gè)等式.可以考慮將直線的斜率列為變量，為避開討論，可設(shè)的方程為，與聯(lián)立消得，則，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，代入化簡(jiǎn)得：因此，點(diǎn)坐標(biāo)為，（2）若三角形APQ為等腰直角三角形，則的中點(diǎn)與點(diǎn)A連線垂直于.先求出的中點(diǎn)坐標(biāo)為，再討論方程解的個(gè)數(shù)，這就轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)增減性，并利用零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)有且只有一個(gè).
試題解析：(1)設(shè)拋物線的方程為,依題意,,
則所求拋物線的方程為.                  (2分)
設(shè)直線的方程為,點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為.
由,消得.由,得,
,.∵,∴.
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,則有.
,,
∴或.
∴或, ∵恒成立. ∴.
又直線過定點(diǎn),即,代入上式得
注意到上式對(duì)任意都成立,
故有,從而點(diǎn)坐標(biāo)為.                (8分)
(2)假設(shè)存在以為底邊的等腰直角三角形,由第（1）問可知,將用代換得直線的方程為.設(shè),
由

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

直線與拋物線交于兩點(diǎn)A、B，如果弦的長(zhǎng)度.
⑴求的值；
⑵求證：（O為原點(diǎn)）。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸的端點(diǎn)分別為,且.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，弦的垂直平分線與軸相交于點(diǎn).設(shè)弦的中點(diǎn)為，試求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)橢圓C1：的右焦點(diǎn)為F，P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求線段PF的中點(diǎn)M的軌跡C2的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線l與橢圓C1相交于點(diǎn)A、D，與曲線C2順次相交于點(diǎn)B、C，當(dāng)時(shí)，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為,離心率，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)所得四邊形的面積為.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)是直線上的不同兩點(diǎn)，若,求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知點(diǎn)在雙曲線上，且雙曲線的一條漸近線的方程是．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)設(shè)(2)中直線與雙曲線交于兩個(gè)不同點(diǎn)，若以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，是橢圓上不同的三點(diǎn)，，，在第三象限，線段的中點(diǎn)在直線上．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上（異于點(diǎn)，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點(diǎn)，證明為定值并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓，直線與相交于、兩點(diǎn)，與軸、軸分別相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）若直線的方程為，求外接圓的方程；
（2）判斷是否存在直線，使得、是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)雙曲線C：（a>0，b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），離心率， A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)M（1，2）.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求直線AB方程；
（3）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C、D兩點(diǎn)，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？為什么？

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