9.已知定義域為R的函數(shù)$f(x)=\frac{{b-{2^x}}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函數(shù).
(1)求a,b的值;
(2)試判斷函數(shù)f(x)的單調性,并用函數(shù)單調性的定義說明理由.

分析 (1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質建立方程進行求解即可求a,b的值;
(2)根據(jù)函數(shù)單調性的定義進行證明即可.

解答 解:(1)∵f(x)是定義域為R的奇函數(shù),
∴f(0)=0,
即f(0)=$\frac{b-1}{2+a}$=0,則b=1,
此時f(x)=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x+1}+a}$,
且f(-x)=-f(x),
則$\frac{1-{2}^{-x}}{{2}^{-x+1}+a}$=-$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x+1}+a}$,
即$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}•{2}^{-x+1}+a•{2}^{x}}$=$\frac{{2}^{x}-1}{2+a•{2}^{x}}$=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x+1}+a}$,
則2+a•2x=2•2x+a,
則a=2;
(2)當a=2,b=1時,f(x)=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x+1}+2}$=$\frac{1}{2}$($\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$)=$\frac{1}{2}$•$\frac{2-(1+{2}^{x})}{1+{2}^{x}}$=$\frac{1}{1+{2}^{x}}$-$\frac{1}{2}$
f(x)在R上是單調減函數(shù),用定義證明如下;
任取x1、x2,且x1<x2,
則f(x1)-f(x2)=$\frac{1}{1+{2}^{{x}_{1}}}$$-\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{2}^{{x}_{2}}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{1+{2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1}{1+{2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{1+{2}^{{x}_{2}}-1-{2}^{{x}_{1}}}{(1+{2}^{{x}_{1}})(1+{2}^{{x}_{2}})}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{(1+{2}^{{x}_{1}})(1+{2}^{{x}_{2}})}$;
∵x1<x2,∴${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$>0,1+${2}^{{x}_{1}}$>0,1+${2}^{{x}_{2}}$>0;
∴f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),
∴f(x)是R上的單調減函數(shù).

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調性的判斷與應用問題,利用函數(shù)奇偶性和單調性的定義是解決本題的關鍵.

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