【題目】如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便地網(wǎng)購，網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為不少人日常生活中重要的一部分，其中大學(xué)生更是頻頻使用網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù).市教育主管部門為掌握網(wǎng)絡(luò)外賣在該市各大學(xué)的發(fā)展情況，在某月從該市大學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了人，并將這人在本月的網(wǎng)絡(luò)外賣的消費(fèi)金額制成如下頻數(shù)分布表（已知每人每月網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額不超過元）：

消費(fèi)金額（單位：百元）

頻數(shù)

由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，該市大學(xué)生網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額（單位：元）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值，）.現(xiàn)從該市任取名大學(xué)生，記其中網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額恰在元至元之間的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；

市某大學(xué)后勤部為鼓勵大學(xué)生在食堂消費(fèi)，特地給參與本次問卷調(diào)查的大學(xué)生每人發(fā)放價值元的飯卡，并推出一檔“勇闖關(guān)，送大獎”的活動.規(guī)則是：在某張方格圖上標(biāo)有第格、第格、第格、…、第格共個方格.棋子開始在第格，然后擲一枚均勻的硬幣（已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，其中），若擲出正面，將棋子向前移動一格（從到），若擲出反面，則將棋子向前移動兩格（從到）.重復(fù)多次，若這枚棋子最終停在第格，則認(rèn)為“闖關(guān)成功”，并贈送元充值飯卡；若這枚棋子最終停在第格，則認(rèn)為“闖關(guān)失敗”，不再獲得其他獎勵，活動結(jié)束.

①設(shè)棋子移到第格的概率為，求證：當(dāng)時，是等比數(shù)列；

②若某大學(xué)生參與這檔“闖關(guān)游戲”，試比較該大學(xué)生闖關(guān)成功與闖關(guān)失敗的概率大小，并說明理由.

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.

【答案】；①證明見解析；②闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率，理由見解析.

【解析】

根據(jù)數(shù)據(jù)算出，由服從正態(tài)分布，算出概率，即，進(jìn)而算出的數(shù)學(xué)期望；

①棋子開始在第格為必然事件，.第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第格，其概率為，即.棋子移到第格的情況是下列兩種，即棋子先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為；棋子先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為.所以.即，進(jìn)而求證當(dāng)時，是等比數(shù)列；②由①知，，，，，得，所以，算出相應(yīng)概率判斷出闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率.

解：

，

因?yàn)?/span>服從正態(tài)分布，所以.

所以，

所以的數(shù)學(xué)期望為.

①棋子開始在第格為必然事件，.

第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第格，其概率為，即.

棋子移到第格的情況是下列兩種，而且也只有兩種：

棋子先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為；

棋子先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為，

所以，

即，且，

所以當(dāng)時，數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.

②由①知，，，，，

以上各式相加，得，

所以.

所以闖關(guān)成功的概率為，

闖關(guān)失敗的概率為.

，

所以該大學(xué)生闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某縣為了幫助農(nóng)戶脫貧致富，鼓勵農(nóng)戶利用荒地山坡種植果樹，某農(nóng)戶考察了三種不同的果樹苗、、．經(jīng)過引種實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，引種樹苗的自然成活率為，引種樹苗、的自然成活率均為．

（1）任取樹苗、、各一棵，估計自然成活的棵數(shù)為，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；

（2）將（1）中的數(shù)學(xué)期望取得最大值時的值作為種樹苗自然成活的概率．該農(nóng)戶決定引種棵種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗有的樹苗可經(jīng)過人工栽培技術(shù)處理，處理后成活的概率為，其余的樹苗不能成活．

①求一棵種樹苗最終成活的概率；

②若每棵樹苗引種最終成活可獲利元，不成活的每棵虧損元，該農(nóng)戶為了獲利期望不低于萬元，問至少要引種種樹苗多少棵？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)的十佳校園歌手有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)，其中3名來自1班，其余7名來自其他互不相同的7個班，現(xiàn)從10名同學(xué)中隨機(jī)選擇3名參加文藝晚會，則選出的3名同學(xué)來自不同班級的概率為_____，設(shè)X為選出3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，則該變量X的數(shù)學(xué)期望為_____．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若過點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知四棱錐的底面是直角梯形，，，且，，為的中點(diǎn).

求證：；

求直線與平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱柱中，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角正弦值為，若存在求出的長，若不存在說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖在三棱錐，，，，，．

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】祖沖之是中國南北朝時期的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，他在數(shù)學(xué)方面的突出貢獻(xiàn)是將圓周率的精確度計算到小數(shù)點(diǎn)后第位，也就是和之間，這一成就比歐洲早了多年，我校“愛數(shù)學(xué)”社團(tuán)的同學(xué)，在祖沖之研究圓周率的方法啟發(fā)下，自制了一套計算圓周率的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/span>.該模型三視圖如圖所示，模型內(nèi)置一個與其各個面都相切的球，該模型及其內(nèi)球在同一方向有開口裝置.實(shí)驗(yàn)的時候，同學(xué)們隨機(jī)往模型中投擲大小相等，形狀相同的玻璃球，通過計算落在球內(nèi)的玻璃球數(shù)量，來估算圓周率的近似值.已知某次實(shí)驗(yàn)中，某同學(xué)一次投擲了個玻璃球，請你根據(jù)祖沖之的圓周率精確度（取小數(shù)點(diǎn)后三位）估算落在球內(nèi)的玻璃球數(shù)量（ ）

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線、交于、兩點(diǎn)，是曲線上的動點(diǎn)，求面積的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案