【題目】在如圖所示的四棱錐中，四邊形是等腰梯形，，，平面，，.

（1）求證：平面；

（2）已知二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由已知可得，結(jié)合，由直線與平面垂直的判定可得平面；

（2）由（1）知，，則，，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，0，，由二面角的余弦值為求解，再由空間向量求解直線與平面所成角的正弦值．

（1）證明：因?yàn)樗倪呅?/span>是等腰梯形，，，所以.又，所以，

因此，，

又，

且，，平面，

所以平面.

（2）取的中點(diǎn)，連接，，

由于，因此，

又平面，平面，所以.

由于，，平面，

所以平面，故，

所以為二面角的平面角.在等腰三角形中，由于，

因此，又，

因?yàn)?/span>，所以，所以

以為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，

，，

設(shè)平面的法向量為

所以，即，令，則，，

則平面的法向量，，

設(shè)直線與平面所成角為，則

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求的零點(diǎn)及單調(diào)區(qū)間；

（2）求證：曲線存在斜率為8的切線，且切點(diǎn)的縱坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，，，給出以下四個(gè)命題：①為偶函數(shù)；②為偶函數(shù)；③的最小值為0；④有兩個(gè)零點(diǎn)．其中真命題的是（ ）．

A.②④B.①③C.①③④D.①④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在黨中央的正確領(lǐng)導(dǎo)下，通過全國(guó)人民的齊心協(xié)力，特別是全體一線醫(yī)護(hù)人員的奮力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．甲、乙兩個(gè)地區(qū)采取防護(hù)措施后，統(tǒng)計(jì)了從2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”確診人數(shù)，繪制成如下折線圖：

（1）根據(jù)圖中甲、乙兩個(gè)地區(qū)折線圖的信息，寫出你認(rèn)為最重要的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論；

（2）治療“新冠肺炎”藥品的研發(fā)成了當(dāng)務(wù)之急，某藥企計(jì)劃對(duì)甲地區(qū)的項(xiàng)目或乙地區(qū)的項(xiàng)目投入研發(fā)資金，經(jīng)過評(píng)估，對(duì)于項(xiàng)目，每投資十萬元，一年后利潤(rùn)是l.38萬元、1.18萬元、l.14萬元的概率分別為、、；對(duì)于項(xiàng)目，利潤(rùn)與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān)，已知項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨(dú)立的調(diào)整，每次價(jià)格調(diào)整中，產(chǎn)品價(jià)格下調(diào)的概率都是，記項(xiàng)目一年內(nèi)產(chǎn)品價(jià)格的下調(diào)次數(shù)為，每投資十萬元，取0、1、2時(shí)，一年后相應(yīng)利潤(rùn)是1.4萬元、1.25萬元、0.6萬元．記對(duì)項(xiàng)目投資十萬元，一年后利潤(rùn)的隨機(jī)變量為，記對(duì)項(xiàng)目投資十萬元，一年后利潤(rùn)的隨機(jī)變量為．

(i)求，的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，；

(ii)如果你是投資決策者，將做出怎樣的決策?請(qǐng)寫出決策理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）設(shè)兩點(diǎn)，，且，若函數(shù)的圖象分別在點(diǎn)、處的兩條切線互相垂直，求的最小值；

（2）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（MERS）和嚴(yán)重急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴(yán)重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒（nCoV）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等，在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：

方式一：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)次.

方式二：混合檢驗(yàn)，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).

若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這份血液究竟哪幾份為陽性，就要對(duì)這份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為.

（1）現(xiàn)有份血液樣本，其中只有份樣本為陽性，若采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率.

（2）現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次為.

（i）若，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（ii）若，且采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求的最大值.

參考數(shù)據(jù)：，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)若當(dāng)時(shí)，取得極值，求的值，并求的單調(diào)區(qū)間.

(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍，并證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（與左、右頂點(diǎn)不重合）已知的內(nèi)切圓半徑的最大值為，橢圓的離心率為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過作軸的垂線交橢圓與另一點(diǎn)（不與重合）.設(shè)的外心為，求證為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近年來，某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱．為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中總計(jì)1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下（單位：噸）：


“廚余垃圾”箱

“可回收物”箱

“其他垃圾”箱

廚余垃圾

400

100

100

可回收物

30

240

30

其他垃圾

20

20

60

（Ⅰ）試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率

（Ⅱ）試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率

（Ⅲ）假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a,b,c,其中a>0，a+b+c=600.當(dāng)數(shù)據(jù)a,b,c,的方差最大時(shí)，寫出a,b,c的值（結(jié)論不要求證明），并求此時(shí)的值．

（注：，其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)）

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