已知橢圓,橢圓以的長(zhǎng)軸為短軸,且與有相同的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在橢圓和上, ,求直線的方程.
(1);(2)或
解析試題分析:(1)由題意可設(shè),所求橢圓的方程為,且其離心率可由橢圓的方程知,因此,解之得,從而可求出橢圓的方程為.
(2)由題意知,所求直線過原點(diǎn),又橢圓短半軸為1,橢圓的長(zhǎng)半軸為4,所以直線不與軸重合,即直線的斜率存在,可設(shè)直線的斜率為,直線的方程為,又設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、,分別聯(lián)立直線與橢圓、的方程消去、可得,,又得,即,所以,解得,從而可求出直線的直線方程為或.
試題解析:(1)由已知可設(shè)橢圓的方程為
其離心率為,故,則
故橢圓的方程為 5分
(2)解法一 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為
由及(1)知,三點(diǎn)共線且點(diǎn),不在軸上,
因此可以設(shè)直線的方程為
將代入中,得,所以
將代入中,則,所以
由,得,即
解得,故直線的方程為或 12分
解法二 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為
由及(1)知,三點(diǎn)共線且點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
拋物線在點(diǎn),處的切線垂直相交于點(diǎn),直線與橢圓相交于,兩點(diǎn).
(1)求拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)的距離;
(2)設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,試問:是否存在直線,使得,,成等比數(shù)列?若存在,求直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓:()過點(diǎn),且橢圓的離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若動(dòng)點(diǎn)在直線上,過作直線交橢圓于兩點(diǎn),且為線段中點(diǎn),再過作直線.證明:直線恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知兩點(diǎn),直線AM、BM相交于點(diǎn)M,且這兩條直線的斜率之積為.
(Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡方程;
(Ⅱ)記點(diǎn)M的軌跡為曲線C,曲線C上在第一象限的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1,直線PE、PF與圓()相切于點(diǎn)E、F,又PE、PF與曲線C的另一交點(diǎn)分別為Q、R.
求△OQR的面積的最大值(其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)及直線,曲線是滿足下列兩個(gè)條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡:①其中是到直線的距離;②
(1) 求曲線的方程;
(2) 若存在直線與曲線、橢圓均相切于同一點(diǎn),求橢圓離心率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn),過橢圓E的右頂點(diǎn)作任意直線l,設(shè)直線l交拋物線于M、N兩點(diǎn),且.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)P是橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A、關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q,線段PQ與x軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為CQ的中點(diǎn),若直線AD與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為B,試判斷直線PA,PB是否相互垂直?并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,過點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為;為橢圓上的四個(gè)點(diǎn)。
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若,且,求四邊形的面積的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,橢圓上一點(diǎn)M
滿足.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線L:y=與橢圓恒有不同交點(diǎn)A,B,且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)k的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是離心率為的橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),直線:x=-將線段F1F2分成兩段,其長(zhǎng)度之比為1:3.設(shè)A,B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段AB的中垂線與C交于P,Q兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)M在直線l上.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求的取值范圍.
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