Question

9．已知函數(shù)f（x）=sinx-3mx，g（x）=mxcosx-mx．
（1）討論f（x）在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)性；
（2）若對任意x≥0，都有f（x）≤g（x），求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為sinx-2mx-mxcosx≤0，x≥0，設(shè)$h（x）=\frac{sinx}{2+cosx}-mx（{x≥0}）$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（1）f'（x）=cosx-3m，
當(dāng)$m≥\frac{1}{3}$時，f（x）在區(qū)間[0，π]上為減函數(shù)；
當(dāng)$m≤-\frac{1}{3}$時，f（x）在區(qū)間[0，π]上為增函數(shù)；
當(dāng)$-\frac{1}{3}＜m＜\frac{1}{3}$時，則存在x₀∈（0，π）使得cosx₀=3m，
因此f（x）在區(qū)間[0，x₀）上為增函數(shù)，在區(qū)間（x₀，π]上為減函數(shù)．
（2）f（x）≤g（x），x≥0?sinx-2mx-mxcosx≤0，x≥0
$?（{2+cosx}）（{\frac{sinx}{2+cosx}-mx}）≤0，x≥0$，（*）
設(shè)$h（x）=\frac{sinx}{2+cosx}-mx（{x≥0}）$，
則$h'（x）=\frac{2cosx+1}{{{{（{2+cosx}）}^2}}}-m=-3{（{\frac{1}{2+cosx}}）^2}+2（{\frac{1}{2+cosx}}）-m$
=$-3{（{\frac{1}{2+cosx}-\frac{1}{3}}）^2}+\frac{1}{3}-m$
①當(dāng)$\frac{1}{3}-m≤0$即$m≥\frac{1}{3}$時，h'（x）≤0，即h（x）在[0，+∞）遞減，
所以h（x）≤h（0）=0，因此（*）恒成立；
②當(dāng)m≤0時，取$x=\frac{π}{2}$，則有$h（x）=\frac{1}{2}-\frac{π}{2}m＞0$，因此（*）不恒成立；
③當(dāng)$0＜m＜\frac{1}{3}$時，則由（1）可知存在x₀∈（0，π）使得f（x）在（0，x₀）遞增，
所以f（x）＞f（0）=0，即sinx＞3mx，
因此當(dāng)x∈（0，x₀）時，$h（x）＞\frac{sinx}{3}-mx＞0$，因此（*）不恒成立，
綜上，實數(shù)m的取值范圍是$[\frac{1}{3}，+∞）$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．