Question

【題目】已知橢圓C： 的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是一個(gè)正方形，且其周長(zhǎng)為 .
（I）求橢圓C的方程；
（II）設(shè)過(guò)點(diǎn)B（0，m）（m>0）的直線 與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為D，若點(diǎn)D總在以線段EF為直徑的圓內(nèi)，求m的取值范圍.

Answer 1

【答案】解：（I）由題意，得： 又因?yàn)?
解得 ，所以橢圓C的方程為 .
（II）當(dāng)直線 的斜率不存在時(shí)，由題意知 的方程為x=0，
此時(shí)E，F(xiàn)為橢圓的上下頂點(diǎn)，且 ，
因?yàn)辄c(diǎn) 總在以線段 為直徑的圓內(nèi)，且 ，
所以 ，故點(diǎn)B在橢圓內(nèi).
當(dāng)直線 的斜率存在時(shí)，設(shè) 的方程為 .
由方程組 得 ，
因?yàn)辄c(diǎn)B在橢圓內(nèi)，
所以直線 與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)，即 .
設(shè) ，則 .
設(shè)EF的中點(diǎn) ，則 ，
所以 .所以 ，
，
因?yàn)辄c(diǎn)D總在以線段EF為直徑的圓內(nèi)，所以 對(duì)于 恒成立.
所以 .
化簡(jiǎn)，得 ，整理，得 ，
而 （當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)等號(hào)成立）所以 ，
由m>0，得 .綜上，m的取值范圍是 .
【解析】(1)由條件列出關(guān)于a,b,c的方程組求a,b,c得到橢圓的方程;
(2)先討論直線的存在時(shí),由點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為D總在以線段EF為直徑的圓內(nèi),求出m的范圍;再討論當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)出直線的方程,代入到橢圓方程中,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,由韋達(dá)定理求出EF的中點(diǎn)坐標(biāo),當(dāng)點(diǎn)D在以EF為直徑的圓內(nèi)時(shí),由圓的性質(zhì)得到關(guān)于m與k的不等式,求m的范圍.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種：若，則點(diǎn)在圓外;點(diǎn)在圓上;點(diǎn)在圓內(nèi)；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：即可以解答此題．