Question

10．已知函數(shù)f（x）=ax²+blnx在x=1處有極值$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f′（x）=2ax+$\frac{x}$．由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a+0=\frac{1}{2}}\\{{f}^{′}（1）=2a+b=0}\end{array}\right.$，解得a，b．
（Ⅱ）f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-lnx，f′（x）=x-$\frac{1}{x}$．函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞）．令f′（x）＞0，f′（x）＜0，分別解出即可得出單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=2ax+$\frac{x}$．
由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a+0=\frac{1}{2}}\\{{f}^{′}（1）=2a+b=0}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{1}{2}$，b=-1．
（Ⅱ）f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-lnx，f′（x）=x-$\frac{1}{x}$．
函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞）．
令f′（x）＞0，$x-\frac{1}{x}$＞0，即（x+1）（x-1）＞0，又x＞0，解得x＞1．∴單增區(qū)間為（1，+∞）．
令f′（x）＜0，x-$\frac{1}{x}$＜0，解得0＜x＜1，
∴單減區(qū)間為（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．