Question

11．已知圓${x^2}+{y^2}+（4-2a）x-2\sqrt{3}ay+4{a^2}-4a-12=0$，定直線l經(jīng)過點A（1，0），若對任意的實數(shù)a，定直線l被圓C截得的弦長始終為定值d，求得此定值d等于（　�。�

• A． $2\sqrt{7}$
• B． $\sqrt{31}$
• C． $\sqrt{34}$
• D． $\sqrt{37}$

Answer 1

分析 根據(jù)圓的方程求出圓心和半徑，由題意可得圓心C到直線l的距離為定值．當(dāng)直線l的斜率不存在時，經(jīng)過檢驗不符合條件．當(dāng)直線l的斜率存在時，直線l的方程為 y-0=k（x-1），圓心C到直線l的距離為定值，即可得出結(jié)論．

解答 解：圓C：${x^2}+{y^2}+（4-2a）x-2\sqrt{3}ay+4{a^2}-4a-12=0$ 即[x-（a-2）]²+（y-$\sqrt{3}a$）²=16，表示以C（a-2，$\sqrt{3}a$）為圓心，半徑等于4的圓．
∵直線l經(jīng)過點（1，0），對任意的實數(shù)m，定直線l被圓C截得的弦長為定值，則圓心C到直線l的距離為定值．
當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，圓心C到直線l的距離為|a-2-1|=|a-3|，不是定值．
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為 y-0=k（x-1），即 kx-y-k=0．
此時，圓心C到直線l的距離h=$\frac{|k（a-2）-\sqrt{3}a-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$為定值，與a無關(guān)，
故k=$\sqrt{3}$，h=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴d=2$\sqrt{16-{（\frac{3\sqrt{3}}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{37}$，
故選：D

點評 本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題