Question

【題目】已知，，是橢圓：上的三點(diǎn)，其中的坐標(biāo)為，過(guò)橢圓的中心，且橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，求面積；

（3）設(shè)直線：與橢圓交于兩點(diǎn)，，且線段的中垂線過(guò)橢圓與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）6；（3）.

【解析】

（1）由題意可得，再由正三角形的條件可得，解得，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）由題意寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)，直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可求得交點(diǎn)、的縱坐標(biāo)，，代入數(shù)值即可求得面積；（3）聯(lián)立直線與橢圓方程消掉得的二次方程，設(shè)，，，，線段的中點(diǎn)，，由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可用表示出中點(diǎn)坐標(biāo)，由垂直可得，解出即得值，注意檢驗(yàn)△．

（1）的坐標(biāo)為，，即有，

橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形，

可得，解得，

則橢圓的方程為；

（2）直線的方程為，

代入橢圓方程，得，

；

（3）由得，△，

依題意，，設(shè)，，，，線段的中點(diǎn)，，

則，，，，，

由，得，解得．

所以實(shí)數(shù)的值為．