Question

（2012•武漢模擬）△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB+bcos²A=2a．
（1）求

b

a

；
（2）求A的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡已知的等式，整理后利用同角三角函數間的基本關系化簡，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化簡，即可得到所求式子的值；
（2）由余弦定理表示出cosA，將第一問得到的b=2a代入，整理后利用基本不等式求出cosA的范圍，再由A為三角形的內角，且根據余弦函數的單調性，即可得到A的范圍．

解答：解：（1）由正弦定理化簡已知的等式得：sin²AsinB+sinBcos²A=2sinA，
即sinB（sin²A+cos²A）=2sinA，
∴sinB=2sinA，
再由正弦定理得：b=2a，
則

b

a

=2；
（2）由（1）得：b=2a，
由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

4a2+c2-a2

4ac

=

3a2+c2

4ac

≥

2 3 ac

4ac

=

3

2

，
∵A為三角形ABC的內角，且y=cosx在（0，π）上是減函數，
∴0＜A≤

π

6

，
則A的取值范圍是（0，

π

6

]．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數間的基本關系，基本不等式，以及余弦函數的單調性，熟練掌握定理是解本題的關鍵．