Question

已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），其中

π

2

＜α＜

3π

2

．
（1）若|

AC

|=|

BC

|，求角α的值；
（2）若

AC

•

BC

=-1，求sinα-cosα．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量模的公式，將|

AC

|=|

BC

|表示為關(guān)于α的方程，化簡(jiǎn)整理得tanα=1，再結(jié)合α∈（

π

2

，

3π

2

）可得角α的值；
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，代入

AC

•

BC

=-1，化簡(jiǎn)得sinα+cosα=

2

3

，平方整理得2sinαcosα=-

5

9

＜0，從而得出α為鈍角，最后根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，算出sinα-cosα=

14

3

．

解答：解：（1）

AC

=(cosα-3，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-3)．…（1分）
∴|

AC

|=

(cosα-3)2+sin2α

=

10-6cosα

|

BD

|=

cos2α+(sinα-3)2

=

10-6sinα

由|

AC

|=|

BC

|，得sinα=cosα⇒tanα=1，…（3分）
∵

π

2

＜α＜

3π

2

，∴α=

5π

4

  …（4分）
（2）由

AC

•

BC

=-1，得 cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）=-1，
化簡(jiǎn)，得sinα+cosα=

2

3

＞0，
兩邊平方得，（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=

4

9

．
∴2sinαcosα=-

5

9

…（6分）
∵

π

2

＜α＜

3π

2

，∴sinα＞0且cosα＜0
∴sinα-cosα=

(sinα-cosα)2

=

1-2sinαcosα

=

1+ 5 9

=

14

3

（舍負(fù)） …（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出向量的坐標(biāo)，在模相等的情況下求角α的值．著重考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的數(shù)量積和三角函數(shù)恒等變形等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．