Question

1．已知AC，BD為圓x²+y²=16的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，2），則四邊形ABCD面積的最大值為
27．

Answer 1

分析 設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，由此表示出|AC|、|BD|，利用基本不等式求出四邊形ABCD面積的最大值．

解答 解：∵圓O：x²+y²=16，
∴圓心O坐標(biāo)（0，0），半徑r=4，
設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，
∵M(jìn)（1，2），
則d₁²+d₂²=OM²=1²+2²=5，
∴|AC|=2$\sqrt{16-{pd5j9xj_{1}}^{2}}$，|BD|=2$\sqrt{16-{dhdndzn_{2}}^{2}}$，
∴四邊形ABCD的面積為
S=$\frac{1}{2}$|AC|•|BD|=2$\sqrt{16-{fp9vp9d_{1}}^{2}}$•$\sqrt{16-{rdr9xn5_{2}}^{2}}$≤（16-d₁²）+（16-d₂²）=32-5=27，
當(dāng)且僅當(dāng)d₁² =d₂²時(shí)取等號(hào)，
∴四邊形ABCD面積的最大值為27．
故答案為：27．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的應(yīng)用問題，也考查了對(duì)角線互相垂直的四邊形面積的求法以及基本不等式的應(yīng)用問題，是中檔題目．