Question

18．如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線相交于點E，∠BAC的平分線與BC相交于點D，AE=2BD=2．
（1）求證：EA=ED；
（2）求DC•BE的值．

Answer 1

分析 （1）由圓的弦切角定理和內(nèi)角平分線的性質(zhì)，可得∠DAE=∠ADE，即可得證；
（2）由對應(yīng)角相等，可得△ABE∽△CAE，由相似三角形的性質(zhì)和內(nèi)角平分線定理，可得DB•DE=DC•BE，代入計算即可得到所求值．

解答 解：（1）證明：∠ADE=∠ABD+∠BAD，∠DAE=∠DAC+∠EAC，
由AE為△ABC的外接圓的切線，
由弦切角定理可得∠ABD=∠EAC，①
由AD為∠BAC的平分線，
可得∠BAD=∠DAC，②
①②相加可得∠DAE=∠ADE，
則EA=ED．                                                 
（2）∵$\left\{\begin{array}{l}∠ABE=∠CAE，\;\;\\∠AEB=∠CEA，\;\;\end{array}\right.$
∴△ABE∽△CAE，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{AE}$，
又∵$\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}$，∴$\frac{DB}{DC}=\frac{BE}{AE}$，
即DB•AE=DC•BE，
由（1）知EA=ED，∴DB•DE=DC•BE．
根據(jù)已知條件AE=2BD=2．
可得BD=1，EA=ED=2，
所以DB•DE=DC•BE=2．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，考查圓的弦切角定理、三角形的內(nèi)角平分線定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題．