【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx
(1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線,求a、b的值;
(2)當(dāng)a2=4b時(shí),求函數(shù)f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間,并求其在區(qū)間(﹣∞,﹣1)上的最大值.

【答案】
(1)解:f(x)=ax2+1(a>0),則f'(x)=2ax,k1=2a,g(x)=x3+bx,則g′(x)=3x2+b,k2=3+b,

由(1,c)為公共切點(diǎn),可得:2a=3+b

又f(1)=a+1,g(1)=1+b,

∴a+1=1+b,即a=b,代入①式可得:


(2)解:由題設(shè)a2=4b,設(shè)

,令h'(x)=0,解得: ;

∵a>0,∴ ,

x

(﹣∞,﹣

-

h′(x)

+

+

h(x)

極大值

極小值

∴原函數(shù)在(﹣∞,﹣ )單調(diào)遞增,在 單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增

② 若 ,即0<a≤2時(shí),最大值為 ;

②若 <﹣ ,即2<a<6時(shí),最大值為

③若﹣1≥﹣ 時(shí),即a≥6時(shí),最大值為h(﹣ )=1

綜上所述:當(dāng)a∈(0,2]時(shí),最大值為 ;當(dāng)a∈(2,+∞)時(shí),最大值為


【解析】(1)根據(jù)曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線,可知切點(diǎn)處的函數(shù)值相等,切點(diǎn)處的斜率相等,故可求a、b的值;(2)根據(jù)a2=4b,構(gòu)建函數(shù) ,求導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而分類(lèi)討論,確定函數(shù)在區(qū)間(﹣∞,﹣1)上的最大值.

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A.
B.
C.
D.

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