【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點.
(1)證明:PB∥平面AEC;
(2)已知AP=AB=1,AD= ,求二面角D﹣AE﹣C的余弦值.
【答案】
(1)證明:連結(jié)AC、BD,交于點O,連結(jié)OE,
∵底面ABCD為矩形,∴O是BD中點,
∵E為PD的中點,∴OE∥PB,
∵PB平面AEC,OE平面AEC,
∴PB∥平面AEC.
(2)解:以A為原點,AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標系,
∵AP=AB=1,AD= ,
∴A(0,0,0),C(1, ,0),P(0,0,1),D(0, ,0),E(0, , ),
=(1, ,0), =(0, , ),
設(shè)平面AEC的法向量 =(x,y,z),
則 ,取x=3,得 =(3,﹣ ,3),
又平面DEA的法向理 =(1,0,0),
設(shè)二面角D﹣AE﹣C的平面角為θ,
則cosθ= = = .
∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值為 .
【解析】(1)連結(jié)AC、BD,交于點O,連結(jié)OE,則OE∥PB,由此能證明PB∥平面AEC.(2)以A為原點,AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣C的余弦值.
【考點精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定,需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn滿足2Sn=an+1﹣2n+1+1,n∈N* , 且a1 , a2+5,a3成等差數(shù)列.
(1)求a1的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為2,O為AD的中點,射線OP從OA出發(fā),繞著點O順時針方向旋轉(zhuǎn)至OD,在旋轉(zhuǎn)的過程中,記∠AOP為x(x∈[0,π]),OP所經(jīng)過正方形ABCD內(nèi)的區(qū)域(陰影部分)的面積S=f(x),那么對于函數(shù)f(x)有以下三個結(jié)論:
①f( )= ;
②任意x∈[0, ],都有f( ﹣x)+f( +x)=4;
③任意x1 , x2∈( ,π),且x1≠x2 , 都有 <0.
其中所有正確結(jié)論的序號是 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)f(x)=2sin(2x﹣ )的圖象向左平移 個單位,得到函數(shù)g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是( )
A.[﹣ ,0]
B.[﹣ ,0]
C.[0, ]
D.[ , ]
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(a∈R),給出兩個命題:p:函數(shù)f(x)的值域不可能是(0,+∞);q:函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間可以是(-∞,-2].那么下列命題為真命題的是( )
A. p∧q B. p∨(q)
C. (p)∧q D. (p)∧(q)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有下列說法:
①一支田徑隊有男女運動員98人,其中男運動員有56人.按男、女比例用分層抽樣的方法,從全體運動員中抽出一個容量為28的樣本,那么應抽取女運動員人數(shù)是12人;
②采用系統(tǒng)抽樣法從某班按學號抽取5名同學參加活動,學號為5,27,38,49的同學均選中,則該班學生的人數(shù)為60人;
③廢品率x%和每噸生鐵成本y(元)之間的回歸直線方程為 ,這表明廢品率每增加1%,生鐵成本大約增加258元;
④為了檢驗某種血清預防感冒的作用,把500名未使用血清和使用血清的人一年中的感冒記錄作比較,提出假設(shè)H0:“這種血清不能起到預防作用”,利用2×2列聯(lián)表計算得K2的觀測值k≈3.918,經(jīng)查對臨界值表知P(K2≥3.841)≈0.05,由此,得出以下判斷:在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“這種血清能起到預防的作用”.
正確的有( )
A.①④
B.②③
C.①③
D.②④
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