Question

(本小題滿分14分)在周長(zhǎng)為定值的中，已知，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線G,且當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，有最小值.

(1) 以所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，求曲線的方程；

(2) 過(guò)點(diǎn)作圓的切線交曲線于，兩點(diǎn)．將線段MN的長(zhǎng)|MN|表示為的函數(shù)，并求|MN|的最大值．

 

 

Answer 1

【答案】

 

（1）解：(1)設(shè)  ()為定值，所以C點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，所以焦距.                      (2分)

因?yàn)?

又 ，所以 ，由題意得 .

所以C點(diǎn)軌跡G 的方程為            (6分)

(2) .由題意知，|m|≥1.

當(dāng)m＝1時(shí)，切線l的方程為x＝1，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為，，此時(shí)|MN|＝.

當(dāng)m＝－1時(shí)，同理可知|MN|＝.                                 (7分)

當(dāng)|m|＞1時(shí)，設(shè)切線l的方程為y＝k(x－m)，

由得(1＋4k²)x²－8k²mx＋4k²m²－4＝0.            (8分)

設(shè)M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，

則x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，

又由l與圓x²＋y²＝1相切，得＝1，即m²k²＝k²＋1，

所以|MN|＝＝

＝ ＝.      (12分)

由于當(dāng)m＝±1時(shí)，|MN|＝.

所以|MN|＝，m∈(－∞，－1 ]∪[1，＋∞)．

因?yàn)閨MN|＝＝≤2，且當(dāng)m＝±時(shí)，|MN|＝2.

所以|MN|的最大值為2.                                          (14分)

 

【解析】略