Question

已知函數(shù).（）

（1）當時，求在區(qū)間[1，e]上的最大值和最小值；

（2）若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)的圖象恒在直線下方，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）當時，，；

對于[1，e]，有，∴在區(qū)間[1，e]上為增函數(shù)，

∴，.

（Ⅱ）令，則的定義域為（0，+∞）.

在區(qū)間（1，+∞）上函數(shù)的圖象恒在直線下方等價于在區(qū)間（1，+∞）上恒成立. 

∵

① 若，令，得極值點，，

當，即時，在（，+∞)上有，

此時在區(qū)間(，+∞)上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有

∈(，+∞)，不合題意；

當，即時，同理可知，在區(qū)間(1，+∞)上，有

∈(，+∞)，也不合題意；

② 若，則有，此時在區(qū)間(1，+∞)上恒有，

從而在區(qū)間(1，+∞)上是減函數(shù)；

要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，

由此求得的范圍是[，].

綜合①②可知，當∈[，]時，

函數(shù)的圖象恒在直線下方.

解析:

⑴當時，，求其在給定區(qū)間上的最值，可以借助導數(shù)解決；⑵函數(shù)的圖象在直線的下方，說明在給定區(qū)間上恒成立，恒成立問題可以轉化為函數(shù)的最值來解決，再次利用導數(shù)計算求值.