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14.已知銳角△ABC的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且2csinA=3a.
(1)求角C的大小;
(2)若a=5,且△ABC的面積為1532,求△ABC的AB邊上中線CD的長.

分析 (1)利用正弦定理,得到sinC=32,然后求解C即可.
(2)由面積公式求得b=6,由余弦定理求得c2的值,從而求得c的值,由余弦定理求得cosB,CD是△ABC的AB邊上中線,在三角形BCD中,利用余弦定理可求得CD的長.

解答 解:銳角△ABC中,由正弦定理:asinA=sinB=csinC=2R,2csinA=3a得:2sinCsinA=3sinA,
∵sinA≠0,
∴sinC=32,
∴C=\frac{π}{3},
(2)由三角形面積公式S=\frac{1}{2}absinC,\frac{15\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}×5×b×\frac{\sqrt{3}}{2},
解得b=6,
由余弦定理可知:c2=a2+b2-2abcosC,
∴c2=25+36-2×5×6×\frac{1}{2},c=\sqrt{31}
在三角形ABC中,由余弦定理cosB=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}=\frac{25+31-36}{2×5×\sqrt{31}}=\frac{2}{\sqrt{31}},
CD是△ABC的AB邊上中線,CB=AC=\frac{\sqrt{31}}{2},
在三角形BCD中,丨CD丨2=丨BC丨2+丨BD丨2-2丨BC丨丨BD丨cosB,
∴丨CD丨2=\frac{91}{4}
∴丨CD丨=\frac{\sqrt{91}}{2},
△ABC的AB邊上中線CD的長\frac{\sqrt{91}}{2}

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用,三角形的面積的求法,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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