Question

9．?dāng)?shù)獨(dú)游戲越來(lái)越受人們喜愛(ài)，今年某地區(qū)科技館組織數(shù)獨(dú)比賽，該區(qū)甲、乙、丙、丁四所學(xué)校的學(xué)生積極參賽，參賽學(xué)生的人數(shù)如表所示：

中學(xué)	甲	乙	丙	丁
人數(shù)	30	40	20	10

為了解參賽學(xué)生的數(shù)獨(dú)水平，該科技館采用分層抽樣的方法從這四所中學(xué)的參賽學(xué)生中抽取30名參加問(wèn)卷調(diào)查．
（Ⅰ）問(wèn)甲、乙、丙、丁四所中學(xué)各抽取多少名學(xué)生？
（Ⅱ）從參加問(wèn)卷調(diào)查的30名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，求這2名學(xué)生來(lái)自同一所中學(xué)的概率；
（Ⅲ）在參加問(wèn)卷調(diào)查的30名學(xué)生中，從來(lái)自甲、丙兩所中學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，用X表示抽得甲中學(xué)的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）四所中學(xué)報(bào)名參加數(shù)獨(dú)比賽的學(xué)生總?cè)藬?shù)為100名，抽取的樣本容量與總體個(gè)數(shù)的比值$\frac{3}{10}$，由此能求出甲、乙、丙、丁四所中學(xué)各抽取的學(xué)生人數(shù)．
（Ⅱ）從30名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的取法共有$C_{30}^2=435$種，來(lái)自同一所中學(xué)的取法共有$C_9^2+C_{12}^2+C_6^2+C_3^2=120$，由此能求出從30名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生來(lái)自同一所中學(xué)的概率．
（Ⅲ）依題意得，X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．

解答 （本小題共14分）
解：（Ⅰ）由題意知，四所中學(xué)報(bào)名參加數(shù)獨(dú)比賽的學(xué)生總?cè)藬?shù)為100名，
抽取的樣本容量與總體個(gè)數(shù)的比值為$\frac{30}{100}=\frac{3}{10}$，
所以甲、乙、丙、丁四所中學(xué)各抽取的學(xué)生人數(shù)分別為9，12，6，3．…（3分）
（Ⅱ）設(shè)“從30名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，這兩名學(xué)生來(lái)自同一所中學(xué)”為事件A，
從30名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的取法共有$C_{30}^2=435$種，…（5分）
來(lái)自同一所中學(xué)的取法共有$C_9^2+C_{12}^2+C_6^2+C_3^2=120$．   …（7分）
所以$P（A）=\frac{120}{435}=\frac{8}{29}$．
答：從30名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生來(lái)自同一所中學(xué)的概率為$\frac{8}{29}$．          …（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名學(xué)生中，來(lái)自甲、丙兩所中學(xué)的學(xué)生人數(shù)分別為9，6．
依題意得，X的可能取值為0，1，2，…（9分）
$P（X=0）=\frac{C_6^2}{{C_{15}^2}}=\frac{1}{7}$，
$P（X=1）=\frac{C_9^1C_6^1}{{C_{15}^2}}=\frac{18}{35}$，
$P（X=2）=\frac{C_9^2}{{C_{15}^2}}=\frac{12}{35}$．    …（12分）
所以X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{7}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{12}{35}$

…．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．