Question

18．已知拋物線C：x²=y，圓C₂，半徑為1，圓心P（0，t）t＞1，且t為常數(shù)，Q為y軸非負半軸上異于P的點，過Q作圓C₂切線，交拋物線于A、B兩點．
（1）求拋物線焦點與準線方程；
（2）若M是Q點關(guān)于原點的對稱點．
（i）當Q點與原點不重合時，判斷直線MA、MB是否關(guān)于y軸對稱；
（ii）若△MAB的面積為S，求$\frac{2S}{|MQ|}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）直接利用拋物線的方程，可得拋物線焦點與準線方程；
（2）若M是Q點關(guān)于原點的對稱點．
（i）證明k_MA=-k_MB，可得直線MA、MB關(guān)于y軸對稱；
（ii）求出$\frac{2S}{|MQ|}$，即可求$\frac{2S}{|MQ|}$的最小值．

解答 解：（1）∵拋物線C：x²=y，
∴拋物線焦點為（0，$\frac{1}{4}$），準線方程為y=-$\frac{1}{4}$；
（2）（i）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx+a，代入x²=y，可得x²-kx-a=0，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-a，
∴k_MA+k_MB=$\frac{{y}_{1}+a}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}+a}{{x}_{2}}$=2k+2a•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k+2a•$\frac{k}{-a}$=0，
∴k_MA=-k_MB，
∴直線MA、MB關(guān)于y軸對稱；
（ii）∵AB與圓相切，
∴$\frac{|a-t|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
∴k²=（a-t）²-1，
$\frac{2S}{|MQ|}$=$\frac{2×\frac{1}{2}×2a×|{x}_{1}-{x}_{2}|}{2a}$=|x₁-x₂|=k²+4a=（a-t）²-1+4a=a²+（4-2t）a+t²-1=（a+2-t）²+4t-5，
∵k²=（a-t）²-1＞0，∴a＞t+1或a＜t-1，
∴a=t-2時，$\frac{2S}{|MQ|}$取得最小值4t-5．

點評 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查直線與圓、拋物線的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．