Question

2．某企業(yè)有甲、乙兩個分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸（單位：mm）的值落在[29.94，30.06）的零件為優(yōu)質(zhì)品，從甲、乙兩個分廠生產(chǎn)的零件中各抽取出500件，量其內(nèi)徑尺寸的結(jié)果如下表：
甲廠的零件內(nèi)徑尺寸：

分組	[29.86， 29.90）	[29.90，29.94）	[29.94， 29.98）	[29.98， 30.02）	[30.02， 30.06）	[30.06， 30.10）	[30.10， 30.14）
頻數(shù)	15	30	125	198	77	35	20

乙廠的零件內(nèi)徑尺寸：

分組	[29.86， 29.90）	[29.90， 29.94）	[29.94， 29.98）	[29.98， 30.02）	[30.02， 30.06）	[30.06， 30.10）	[30.10， 30.14）
頻數(shù)	40	70	79	162	59	55	35

（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表，并問是否有99.9%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)的零件是否為優(yōu)質(zhì)品與在不同分廠生產(chǎn)有關(guān)”：

	甲廠	乙廠	合計(jì)
優(yōu)質(zhì)品
非優(yōu)質(zhì)品
合計(jì)

附表：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

（2）現(xiàn)用分層抽樣方法（按優(yōu)質(zhì)品和非優(yōu)質(zhì)品分二層），從乙廠中抽取5件零件，從這已知5件零件中任意抽取2件，將這2件零件中的優(yōu)質(zhì)品數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：2×2列聯(lián)表，

	甲廠	乙廠	合計(jì)
優(yōu)質(zhì)品	400	300	700
非優(yōu)質(zhì)品	100	200	300
合計(jì)	500	500	1000

利用公式可得觀測值k，進(jìn)而得出結(jié)論．
（2）分層抽樣方法（按優(yōu)質(zhì)品和非優(yōu)質(zhì)品分二層），從乙廠中抽取3件優(yōu)質(zhì)品，2件非優(yōu)質(zhì)品．X的0，1，2，
利用P（X=k）=$\frac{{∁}_{2}^{2-k}{∁}_{3}^{k}}{{∁}_{5}^{2}}$，可得概率及其數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由已知可得：2×2列聯(lián)表，

	甲廠	乙廠	合計(jì)
優(yōu)質(zhì)品	400	300	700
非優(yōu)質(zhì)品	100	200	300
合計(jì)	500	500	1000

k=$\frac{100×（400×200-100×300）}{500×500×700×300}$≈47.619＞10.828，
因此有99.9%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)的零件是否為優(yōu)質(zhì)品與在不同分廠生產(chǎn)有關(guān)”．
（2）分層抽樣方法（按優(yōu)質(zhì)品和非優(yōu)質(zhì)品分二層），
從乙廠中抽取3件優(yōu)質(zhì)品，2件非優(yōu)質(zhì)品．X的0，1，2，
P（X=k）=$\frac{{∁}_{2}^{2-k}{∁}_{3}^{k}}{{∁}_{5}^{2}}$，可得P（X=0）=$\frac{1}{10}$，P（X=1）=$\frac{3}{5}$，P（X=2）=$\frac{3}{10}$．
X的分布列

X	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{10}$

數(shù)學(xué)期望E（X）=0+$1×\frac{3}{5}+2×\frac{3}{10}$=$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)數(shù)學(xué)及其公式、超幾何分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．