Question

（2012•廈門模擬）已知函數(shù)f（x）=21nx+ax²-1 （a∈R）
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a=l，試解答下列兩小題．
（i）若不等式f（1+x）+f（1-x）＜m對任意的0＜x＜l恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（ii）若x₁，x₂是兩個(gè)不相等的正數(shù)，且以f（x₁）+f（x₂）=0，求證：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析：（I）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＞0，分類討論可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）（i）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（1+x）+f（1-x）=2ln（1+x）+2ln（1-x）+2x²，求導(dǎo)函數(shù)，確定F（x）在（0，1）上為減函數(shù)，從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（ii）由f（x₁）+f（x₂）=0，可得（x₁+x₂）²=2x₁x₂-2lnx₁x₂+2設(shè)t=x₁x₂，則t＞0，g（t）=2t-2lnt+2，求出g（t）_min，即可證得結(jié)論．

解答：（I）解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=

2

x

+2ax
令f′（x）＞0，∵x＞0，∴2ax²+2＞0
①當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）遞增區(qū)間是（0，+∞）；
②當(dāng)a＜0時(shí)，由2ax²+2＞0可得-

- 1 a

＜x＜

- 1 a

x＞0，∴f（x）遞增區(qū)間是（0，

-a

-a

），遞減區(qū)間為(

-a

-a

，+∞)；
（Ⅱ）（i）解：設(shè)F（x）=f（1+x）+f（1-x）=2ln（1+x）+2ln（1-x）+2x²，則F′（x）=

4x3

x2-1

∵0＜x＜l，∴F′（x）＜0在（0，1）上恒成立，∴F（x）在（0，1）上為減函數(shù)
∴F（x）＜F（0）=0，∴m≥0，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為[0，+∞）；
（ii）證明：∵f（x₁）+f（x₂）=0，
∴21nx₁+x₁²-1+21nx₂+x₂²-1=0
∴2lnx₁x₂+（x₁+x₂）²-2x₁x₂-2=0
∴（x₁+x₂）²=2x₁x₂-2lnx₁x₂+2
設(shè)t=x₁x₂，則t＞0，g（t）=2t-2lnt+2，∴g′（t）=

2(t-1)

t

令g′（t）＞0，得t＞1，∴g（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增
∴g（t）_min=g（1）=4，∴（x₁+x₂）²＞4，∴x₁+x₂＞2．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)．