【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求曲線在點的切線方程；

（2）對一切， 恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當時，試討論在內(nèi)的極值點的個數(shù).

【答案】(1) ；(2)實數(shù)的取值范圍為；

(3)當， 在內(nèi)的極值點的個數(shù)為1；當時, 在

內(nèi)的極值點的個數(shù)為0.

【解析】試題分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點處的切線方程，注意這個點的切點,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，最后把直線方程化成一般式；（2）利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式在區(qū)間上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)，其中一個重要的技巧就是找到函數(shù)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個突破口，觀察式子的特點，找到特點證明不等式；(3)對于恒成立的問題常采用分離參數(shù)的方法，常用到兩個結(jié)論：（1），（2）；（4）單調(diào)函數(shù)最多只有一個零點.

試題解析：解：(1) 由題意知,所以

又，

所以曲線在點的切線方程為5分

(2)由題意: ,即

設(shè),則

當時,；當時,

所以當時， 取得最大值

故實數(shù)的取值范圍為. 10分

(3) ，，

①當時, ∵∴存在使得

因為開口向上，所以在內(nèi),在內(nèi)即在內(nèi)是增函數(shù), 在內(nèi)是減函數(shù)

故時， 在內(nèi)有且只有一個極值點, 且是極大值點. 12分

②當時,因

又因為開口向上

所以在內(nèi)則在內(nèi)為減函數(shù)，故沒有極值點 14分

綜上可知：當， 在內(nèi)的極值點的個數(shù)為1；當時, 在

內(nèi)的極值點的個數(shù)為0. 15分

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B.（2，8）
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D.

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（I）求直線的極坐標方程與曲線的參數(shù)方程；

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小區(qū)

A

B

C

D

代表人數(shù)

45

60

30

15

(I)求此活動中各小區(qū)“幸運之星”的人數(shù)；

（II）從B小區(qū)和C小區(qū)的“幸運之星”中任選兩人進行后續(xù)的活動，求這兩個人均來自B小區(qū)的概率；

（III）消防機構(gòu)在B小區(qū)內(nèi)，對參加問答活動的居民進行了是否有興趣參加消防安全培訓(xùn)的問卷調(diào)查，統(tǒng)計結(jié)果如下（單位：人）：

有興趣

無興趣

合計

男

25

5

30

女

15

15

30

合計

40

20

60

據(jù)此判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為有興趣參加消防安全培訓(xùn)與性別有關(guān)系？

臨界值表：

參考公式：，其中．

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