Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-3x+a
（I）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最小值為2，求它在該區(qū)間上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)減區(qū)間，
（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值關(guān)系以及函數(shù)端點值，即可求出函數(shù)的最值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-3x+a
∴f′（x）=x²+2x-3，
令f′（x）=0，解得x=-3，或x=1，
由f′（x）＜0，得-3＜x＜1，
∴f（x）的減區(qū)間是（-3，1）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)f′（x）＞0，得x＜-3或x＞1，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴f（x）在[-2，1）上為減函數(shù)，在（1，2]上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{3}$+1-3+a=2，
解得a=$\frac{11}{3}$
∴f（-2）=-$\frac{8}{3}$+4+6+$\frac{11}{3}$=11，f（2）=$\frac{8}{3}$+4-6+$\frac{11}{3}$=$\frac{13}{3}$，
∴f（x）_max=11

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與閉區(qū)間上的最值問題，準(zhǔn)確求導(dǎo)，弄清導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．