【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax(a>0),設(shè) .
(1)判斷函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并給出證明;
(2)首項(xiàng)為m的數(shù)列{an}滿(mǎn)足:①an+1+an≠ ;②f(an+1)=g(an).其中0<m< .求證:對(duì)于任意的i,j∈N* , 均有ai﹣aj< ﹣m.
【答案】
(1)解:函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)在 上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
證明如下:函數(shù)f(x)=lnx﹣ax的定義域?yàn)椋?,+∞),
由 ,可得函數(shù)g(x)的定義域?yàn)椋ī仭蓿? ),
∴函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)的定義域?yàn)椋?, ).
h(x)=f(x)﹣g(x)=lnx﹣ax﹣ln( )+2﹣ax.
h′(x)= ,
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立,因此h(x)在 上單調(diào)遞增,又 ,
故函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)在 上有且僅有一個(gè)零點(diǎn);
(2)證明:由(1)可知h(x)在 上單調(diào)遞增,且 ,
故當(dāng) 時(shí),h(x)<0,即f(x)<g(x);
當(dāng) 時(shí),h(x)>0,即f(x)>g(x).
∵ ,∴f(a1)<g(a1)=f(a2),
若 ,則由 ,且f(x)在 上單調(diào)遞減,
知 ,即 ,這與 矛盾,故 ,
而當(dāng) 時(shí),f(x)單調(diào)遞增,故 ;
同理可證 ,…, ,
故數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列且所有項(xiàng)均小于 ,
因此對(duì)于任意的i,j∈N*,均有 .
【解析】(1)由已知求出函數(shù)函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)的定義域?yàn)椋?, ).利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù),再由 可得函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)在 上有且僅有一個(gè)零點(diǎn);(2)由(1)可知h(x)在 上單調(diào)遞增,且 ,故當(dāng) 時(shí),h(x)<0,即f(x)<g(x);當(dāng) 時(shí),h(x)>0,即f(x)>g(x).由a1=m及m的范圍可得f(a1)<g(a1)=f(a2),然后判斷得 ,結(jié)合 時(shí),f(x)單調(diào)遞增得 ;同理可證 ,…, ,則有數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列且所有項(xiàng)均小于 ,從而證得對(duì)于任意的i,j∈N*,均有 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足 ,若目標(biāo)函數(shù)z=﹣mx+y的最大值為﹣2m+10,最小值為﹣2m﹣2,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.[﹣1,2]
B.[﹣2,1]
C.[2,3]
D.[﹣1,3]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,AD∥BC,AD=AB=DC= BC=1,E是PC的中點(diǎn),面PAC⊥面ABCD.
(Ⅰ)證明:ED∥面PAB;
(Ⅱ)若PC=2,PA= ,求二面角A﹣PC﹣D的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在自然數(shù)列1,2,3,,n中,任取k個(gè)元素位置保持不動(dòng),將其余n﹣k個(gè)元素變動(dòng)位置,得到不同的新數(shù)列.由此產(chǎn)生的不同新數(shù)列的個(gè)數(shù)記為Pn(k).
(1)求P3(1)
(2)求 P4(k);
(3)證明 kPn(k)=n Pn﹣1(k),并求出 kPn(k)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)=25﹣x , g(x)=x+t,設(shè)h(x)=max{f(x),g(x)}.若當(dāng)x∈N+時(shí),恒有h(5)≤h(x),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓E: + =1(a>b>0)上點(diǎn)P,其左、右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , △PF1F2的面積的最大值為 ,且滿(mǎn)足 =3
(1)求橢圓E的方程;
(2)若A,B,C,D是橢圓上互不重合的四個(gè)點(diǎn),AC與BD相交于F1 , 且 =0,求 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn , 且an2+an=2Sn , n∈N* .
(1)求a1及an;
(2)求滿(mǎn)足Sn>210時(shí)n的最小值;
(3)令bn=4 ,證明:對(duì)一切正整數(shù)n,都有 + + ++ < .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若對(duì)圓(x﹣1)2+(y﹣1)2=1上任意一點(diǎn)P(x,y),|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|的取值與x,y無(wú)關(guān),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.a≤﹣4
B.﹣4≤a≤6
C.a≤﹣4或a≥6
D.a≥6
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