19.在數(shù)列{an}及{bn}中,an+1=an+bn+$\sqrt{a_n^2+b_n^2}$,bn+1=an+bn-$\sqrt{a_n^2+b_n^2}$,a1=1,b1=1.設(shè)${c_n}={2^n}({\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}})$,則數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為2n+2-4.

分析 由an+1=an+bn+$\sqrt{a_n^2+b_n^2}$,bn+1=an+bn-$\sqrt{a_n^2+b_n^2}$,a1=1,b1=1.可得an+1+bn+1=2(an+bn),a1+b1=2.a(chǎn)n+1bn+1=$({a}_{n}+_{n})^{2}$-$({a}_{n}^{2}+_{n}^{2})$=2anbn,即anbn=2n-1.分別利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.

解答 解:∵an+1=an+bn+$\sqrt{a_n^2+b_n^2}$,bn+1=an+bn-$\sqrt{a_n^2+b_n^2}$,a1=1,b1=1.
∴an+1+bn+1=2(an+bn),a1+b1=2.
∴an+bn=2n
另一方面:an+1bn+1=$({a}_{n}+_{n})^{2}$-$({a}_{n}^{2}+_{n}^{2})$=2anbn
∴anbn=2n-1
∴${c_n}={2^n}({\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}})$=${2}^{n}•\frac{{a}_{n}+_{n}}{{a}_{n}_{n}}$=2n•$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n-1}}$=2n+1
則數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和=$\frac{4({2}^{n}-1)}{2-1}$=2n+2-4.
故答案為:2n+2-4.

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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