6.在四面體ABCD中,AB⊥AD,AB=AD=BC=CD=1,且平面ABD⊥平面BCD,M為AB中點,則CM與平面ABD所成角的正弦值為( 。
A.$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$B.$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$C.$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$D.$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

分析 如圖所示,取BD的中點O,連接OA,OC,利用等腰三角形的性質可得OA⊥BD,OC⊥BD.又平面ABD⊥平面BCD,可得OA⊥平面BCD,OA⊥OC.建立空間直角坐標系.又AB⊥AD,可得DB=$\sqrt{2}$.取平面ABD的法向量$\overrightarrow{n}$=(1,0,0),CM與平面ABD所成角的正弦值=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{MC}|}$.

解答 解:如圖所示,取BD的中點O,連接OA,OC,
∵AB=AD=BC=CD=1,∴OA⊥BD,OC⊥BD.
又平面ABD⊥平面BCD,∴OA⊥平面BCD,OA⊥OC.
建立空間直角坐標系.又AB⊥AD,∴DB=$\sqrt{2}$.
∴O(0,0,0),A(0,0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$),B(0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$,0),M(0,$\frac{\sqrt{2}}{4}$,$\frac{\sqrt{2}}{4}$),C($\frac{\sqrt{2}}{2}$,0,0).
∴$\overrightarrow{MC}$=(-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{4}$,$\frac{\sqrt{2}}{4}$).
取平面ABD的法向量$\overrightarrow{n}$=(1,0,0),
∴CM與平面ABD所成角的正弦值=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{MC}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
故選:D.

點評 本題考查了空間線面位置關系、向量夾角公式、等腰三角形的性質,考查了數(shù)形結合方法、推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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11.某種證件的獲取規(guī)則是:參加科目A和科目B的考試,每個科目考試的成績分為合格與不合格,每個科目最多只有2次考試機會,且參加科目A考試的成績?yōu)楹细窈螅拍軈⒓涌颇緽的考試;參加某科目考試的成績?yōu)楹细窈,不再參加該科目的考試,參加兩個科目考試的成績均為合格才能獲得該證件.現(xiàn)有一人想獲取該證件,已知此人每次參加科目A考試的成績?yōu)楹细竦母怕适?\frac{2}{3}$,每次參加科目B考試的成績?yōu)楹细竦母怕适?\frac{1}{2}$,且各次考試的成績?yōu)楹细衽c不合格均互不影響.假設此人不放棄按規(guī)則所給的所有考試機會,記他參加考試的次數(shù)為X.
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