Question

17．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+b（x∈R），給出下列命題：
①存在實(shí)數(shù)ɑ，使f（x）為偶函數(shù)．
②若f（0）=f（2），則 f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱．
③若a²-b≤0，則f（x）在區(qū)間[a，+∞）上是增函數(shù)
④若a²-b-2＞0，則函數(shù)h（x）=f（x）-2有2個(gè)零點(diǎn)．
其中正確命題的序號(hào)為①②③．

Answer 1

分析 ①，實(shí)數(shù)ɑ=0時(shí)，f（x）為偶函數(shù)．
②，若f（0）=f（2）⇒a=1，再求f（x）對(duì)稱軸．
③，函數(shù)f（x）=x²-2ax+b 的對(duì)稱軸為x=a，且開口朝上，可求f（x）增區(qū)間．
④，方程x²-2ax+b-2=0有兩個(gè)不等實(shí)根，即△=4a²-4（b-2）＞0，即a²-b+2＞0．

解答 解：對(duì)于①，實(shí)數(shù)ɑ=0時(shí)，f（x）為偶函數(shù)，故正確．
對(duì)于②，若f（0）=f（2）⇒a=1，則 f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，故正確．
對(duì)于③，函數(shù)f（x）=x²-2ax+b 的對(duì)稱軸為x=a，且開口朝上，則f（x）在區(qū)間[a，+∞）上是增函數(shù)，故正確．
對(duì)于④，若函數(shù)h（x）=f（x）-2有2個(gè)零點(diǎn)⇒方程x²-2ax+b-2=0有兩個(gè)不等實(shí)根，即△=4a²-4（b-2）＞0，即a²-b+2＞0，故錯(cuò)．
故答案為：①②③

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題真假的判定，涉及到函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．