【題目】已知函數(shù)

(1)若在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;

(2)若處有極值10,求的值;

(3)若對任意的,有恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)m≥-(2)(3)m∈[-1 ,1]

【解析】分析:(1) 在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)得,

時, 恒成立,由此可求實數(shù)的取值范圍;

(2),由題,判斷當時,無極值,舍去,則可求;

(3)對任意的,有恒成立,即上最大值與最小值差的絕對值小于等于2.求出原函數(shù)的導函數(shù),分類求出函數(shù)在的最值,則答案可求;

詳解:

(1) 在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)得,

時, 恒成立,即 恒成立,

解得

(2),由題

時,,無極值,舍去.

所以

(3)由對任意的x1x2∈[-1,1],有| f(x1)-f(x2)|≤2恒成立,得fmax(x)-fmin(x)≤2.

| f(1)-f(0)|≤2,| f(-1)-f(0)|≤2,解得m∈[-1,1],

m=0時,f'(x)≥0,f(x)[-1,1]上單調(diào)遞增,

fmax(x)-fmin(x)= | f(1)-f(-1)|≤2成立.

m∈(0,1]時,令f'(x)<0,得x∈(-m,0),則f(x)(-m,0)上單調(diào)遞減;

同理f(x)(-1,- m),(0,1)上單調(diào)遞增,

f(-m)= m3+m2f(1)= m2+m+1,下面比較這兩者的大小,

h(m)=f(-m)-f(1)= m3m-1,m∈[0,1],

h'(m)= m2-1<0,則h(m)(0,1] 上為減函數(shù),h(m)h(0)=-1<0,

f(-m)<f(1),又f(-1)= m-1+m2m2=f(0),僅當m=1時取等號.

所以fmax(x)-fmin(x)= f(1)-f(-1)=2成立.

同理當m∈[-1 ,0)時,fmax(x)-fmin(x)= f(1)-f(-1)=2成立.

綜上得m∈[-1 ,1].

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