Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D為PB中點，PC＝3PE.

（1）求證：平面ADE⊥平面PBC；

（2）在AC上是否存在一點M，使得MB∥平面ADE？若存在，請確定點M的位置，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）存在，是中點；證明見解析

【解析】

（1）根據已知可得，，可證BC⊥平面PAB，進而BC⊥AD，根據已知可得AD⊥PB，AD⊥平面PBC，即可證明結論；

（2）存在M是AC中點時，MB∥平面ADE，取EC中點F，連結BM，MF，可證

平面，平面，進而證明平面平面，即可證明結論.

（1）證明：∵PA⊥平面ABC，平面ABC，∴BC⊥PA，

平面PAB，

∴BC⊥平面PAB，平面PAB，∴BC⊥AD，

∵PA＝AB，D為PB中點，∴AD⊥PB，

平面，∴AD⊥平面PBC，

∵AD平面ADE，∴平面ADE⊥平面PBC.

（2）點M是AC中點時，MB∥平面ADE，證明如下：

取EC中點F，連結BM，MF，

因為分別為的兩個三等分點，

在中，平面，

平面平面，

同理平面，又平面，

平面平面，平面，

平面.