Question

【題目】已知橢圓，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且，，依次成等比數(shù)列，其離心率為.過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；

（3）在平面直角坐標(biāo)系中，若存在與點(diǎn)不同的點(diǎn)，使得成立，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）直線的方程為或（3）點(diǎn)坐標(biāo)為

【解析】

（1）根據(jù)條件列關(guān)于的方程組，解方程組即可得結(jié)果；

（2）驗(yàn)證當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)的情況，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，先利用弦長(zhǎng)公式求出，列方程求出，進(jìn)而可得直線的方程；

（3）驗(yàn)證當(dāng)直線與軸平行和垂直時(shí)的情況，直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，利用（2）中所求，利用韋達(dá)定理得到，，三點(diǎn)共線，進(jìn)而可得成立，點(diǎn)坐標(biāo)也可求出.

解（1）由題意知，

解得，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，不符合題意；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，得，

其判別式，

設(shè)、坐標(biāo)分別為，，

則，，

所以，

整理得，解得或，

所以或，

綜上，直線的方程為或；

（3）因?yàn)榇嬖邳c(diǎn)，使，

即，

①當(dāng)直線與軸平行時(shí)，此時(shí)，

所以點(diǎn)在軸上，可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為；

當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，則，的坐標(biāo)分別為，，

由，得，解得或，

因?yàn)?/span>不同于點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)只能為；

②下面證明，對(duì)任意直線，均有點(diǎn)，使成立，

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由上知，結(jié)論成立；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，

由（2）中式得，

，，

所以，

易知，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，

又因?yàn)?/span>，

，

所以，即，，三點(diǎn)共線，

所以，

即成立，

所以點(diǎn)坐標(biāo)為.