Question

【題目】在極坐標(biāo)系中，曲線C1：ρ=2cosθ，曲線C2：ρ=（ρcosθ+4）cosθ．以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系xOy，曲線C的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）． （Ⅰ）求C1 ， C2的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）C與C1 ， C2交于不同四點，這四點在C上的排列順次為H，I，J，K，求||HI|﹣|JK||的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵曲線C1：ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ， ∵ρ2=x2+y2 ， x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲線C1的直角坐標(biāo)方程為（x﹣1）2+y2=1．
∵曲線C2：ρ=（ρcosθ+4）cosθ．
∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，
∴曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y2=4x．
（Ⅱ）不妨設(shè)四點在C上的排列順次至上而下為H，I，J，K，
它們對應(yīng)的參數(shù)分別為t1 ， t2 ， t3 ， t4 ， 如圖，連結(jié)C1 ， J，
則△C1IJ為正三角形，
∴|IJ|=1，||HI|﹣|JK||=||HI|﹣|IK|+|IJ||=||t1|﹣|t4|+1|=|﹣（t1+t4）+1|，
把曲線C的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）代入y2=4x，
得： ，即3t2+8t﹣32=0，故 ，
∴||HI|﹣|JK||= ．

【解析】（Ⅰ）由ρ2=x2+y2 ， x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出C1 ， C2的直角坐標(biāo)方程．（Ⅱ）設(shè)四點在C上的排列順次至上而下為H，I，J，K，它們對應(yīng)的參數(shù)分別為t1 ， t2 ， t3 ， t4 ， 連結(jié)C1 ， J，則△C1IJ為正三角形，||HI|﹣|JK||=||HI|﹣|IK|+|IJ||=||t1|﹣|t4|+1|=|﹣（t1+t4）+1|，把曲線C的參數(shù)方程代入y2=4x，得3t2+8t﹣32=0，由此能求出||HI|﹣|JK||的值．