Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx+a．
（1）若函數(shù)y=f（x）在x=e處的切線方程為y=2x，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)m＞0，當(dāng)x∈[m，2m]時(shí)，求f（x）的最小值；
（3）求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)y=f（x）在x=e處的切線方程為y=2x，

∴此時(shí)y=2e，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（e，2e），

則切點(diǎn)也在函數(shù)f（x）上，則f（e）=elne+a=e+a=2e，

則a=e，

（2）解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=lnx+1，

由f′（x）＞0得x＞ ，由f′（x）＜0得0＜x＜ ，

即函數(shù)在（ ，+∞）上為增函數(shù)，在（0， ）上為減函數(shù)，

①當(dāng)2m≤ ，即m≤ 時(shí)，f（x）min=f（2m）=2mln2m+a，

②當(dāng)m＜ ＜2m，即 ＜m＜ 時(shí)，f（x）min=f（ ）=﹣ +a，

③當(dāng)m≥ 時(shí)，f（x）min=f（m）=mlnm+a

（3）證明：令x= ，則x＞ ，

由（2）知，xlnx+a≥﹣ +a，

即xlnx≥﹣ ，當(dāng)x= 時(shí)，取等號(hào)，

∴ ln= ＞﹣ ，則﹣ln ＞﹣ ，即e ＜ ，即ln（1+ ）e＜1+ ，

∴ ．

【解析】（1）求出切點(diǎn)坐標(biāo)，代入函數(shù)進(jìn)行求解即可．（2）求好的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．（3）令x= ，利用（2）的結(jié)論，構(gòu)造不等式進(jìn)行證明即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．