Question

11．已知函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1），g（x）=e^x，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，e]上的值域；
（3）若a＞0，過原點(diǎn)分別作曲線y=f（x）、y=g（x）的切線l₁、l₂，且兩切線的斜率互為倒數(shù)，求證：$\frac{e-1}{e}＜a＜\frac{{{e^2}-1}}{e}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值，得到函數(shù)在閉區(qū)間的值域即可；
（3）求出切線方程，聯(lián)立方程組得到$m（x）=lnx-1+\frac{1}{x}-\frac{1}{e}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m（x）的范圍，從而證明結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-x+1，定義域?yàn)椋?，+∞），$f'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$．
令f'（x）＞0，得增區(qū)間為（0，1）；令f'（x）＜0，得減區(qū)間為（1，+∞）．…（2分）
（2）$f'（x）=\frac{1-ax}{x}$．
當(dāng)$a≤\frac{1}{e}$時(shí)，f'（x）≥0，f（x）在[1，e]上為增函數(shù)，故f（1）≤f（x）≤f（e），
從而f（x）的值域?yàn)閇0，1+a-ae]；
當(dāng)a≥1時(shí)，f'（x）≤0，f（x）在[1，e]上為減函數(shù)，故f（e）≤f（x）≤f（1），
從而f（x）的值域?yàn)閇1+a-ae，0]；
當(dāng)$\frac{1}{e}＜a＜1$時(shí)，$x∈（1，\frac{1}{a}）$時(shí)f'（x）＞0，f（x）遞增；$x∈（\frac{1}{a}，e）$時(shí)f'（x）＜0，f（x）遞減
故f（x）的最大值為$f（\frac{1}{a}）=-lna-1+a$；最小值為f（1）與f（e）中更小的一個(gè)，
當(dāng)$\frac{1}{e}＜a≤\frac{1}{e-1}$時(shí)f（e）≥f（1），最小值為f（1）=0；
當(dāng)$\frac{1}{e-1}＜a＜1$時(shí)，f（e）＜f（1），最小值為f（e）=1+a-ae．
綜上所述，當(dāng)$a≤\frac{1}{e}$時(shí)，值域?yàn)閇0，1+a-ae]；
當(dāng)$\frac{1}{e}＜a≤\frac{1}{e-1}$時(shí)，值域?yàn)閇0，-lna-1+a]；
當(dāng)$\frac{1}{e-1}＜a＜1$時(shí)，值域?yàn)閇1+a-ae，-lna-1+a]；
當(dāng)a≥1時(shí)，值域?yàn)閇1+a-ae，0]． …（8分）
（3）設(shè)切線l₂對(duì)應(yīng)切點(diǎn)為$（{x_0}，{e^{x_0}}）$，切線方程為$y-{e^{x_0}}={e^{x_0}}（x-{x_0}）$，
將（0，0）代入，解得x₀=1，${k_2}={e^{x_0}}=e$，從而${k_1}=\frac{1}{e}$．
設(shè)l₁與曲線y=f（x）的切點(diǎn)為（x₁，lnx₁-a（x₁-1）），${k_1}=\frac{1}{x_1}-a=\frac{1}{e}$，得$a=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}$①
切線l₁方程為$y-ln{x_1}+a（{x_1}-1）=\frac{1}{e}（x-{x_1}）$，將（0，0）代入，得$ln{x_1}-a（{x_1}-1）=\frac{x_1}{e}$②
將①代入②，得$ln{x_1}-1+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}=0$．
令$m（x）=lnx-1+\frac{1}{x}-\frac{1}{e}$，則$m'（x）=\frac{x-1}{x^2}$，m（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．
若x₁∈（0，1），由$m（\frac{1}{e}）=-2+e-\frac{1}{e}＞0$，$m（1）=-\frac{1}{e}＜0$，則${x_1}∈（\frac{1}{e}，1）$．
而$a=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}$在$（\frac{1}{e}，1）$上單調(diào)遞減，故$\frac{e-1}{e}＜a＜\frac{{{e^2}-1}}{e}$；
若x₁∈（1，+∞），因m（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)增，且m（e）=0，
所以$a=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{e}=0$，與題設(shè)a＞0矛盾，故不可能．
綜上所述，$\frac{e-1}{e}＜a＜\frac{{{e^2}-1}}{e}$．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．