Question

本題滿分14分）
在數(shù)列中，，且.
(Ⅰ) 求，猜想的表達(dá)式，并加以證明；
(Ⅱ) 設(shè)，求證：對(duì)任意的自然數(shù)，都有；

Answer 1

解：（1）容易求得：，；
猜想， 證明：見(jiàn)解析.
（2）見(jiàn)解析.

本試題主要是考查了數(shù)列的歸納猜想的思想的運(yùn)用，以及運(yùn)用哦遞推關(guān)系式來(lái)求解數(shù)列的前幾項(xiàng)，并且能運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，同時(shí)對(duì)于構(gòu)造的新數(shù)列也能利用裂項(xiàng)法求和的綜合運(yùn)用。
（1）利用遞推關(guān)系，對(duì)于n賦值分別得到前幾項(xiàng)，并猜想其通項(xiàng)公式，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明
（2）根據(jù)上一問(wèn)的結(jié)論，表示新數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)的思想求和并證明不等式問(wèn)題。
解：（1）容易求得：，----------------------（2分）
故可以猜想， 下面利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：
（i）          顯然當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，-----------------（3分）
（ii）        假設(shè)當(dāng)；時(shí)（也可以），結(jié)論也成立，即
，--------------------------（4分）
那么當(dāng)時(shí)，由題設(shè)與歸納假設(shè)可知：
------------（6分）
即當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立，綜上，對(duì),成立。--------（7分）
（2）---（9分）
所以
---------（11分）
所以只需要證明
（顯然成立）
所以對(duì)任意的自然數(shù)，都有-------（14分）