Question

已知M（2，3）、N（2，-3）兩點在以F（2，0）為右焦點的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，斜率為1的直線l與橢圓C交于點A，B（A，B在直線MN的兩側）．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求四邊形ANBM面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（I）通過橢圓的焦點求出焦距，利用橢圓的定義求出a，然后求解b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，求出|x_A-x_B|，然后求四邊形ANBM面積的表達式，即可求解面積的最大值．

解答： （本小題滿分15分）
解：（I）∵右焦點為F（2，0）∴左焦點為F′（-2，0）…．（1分）
∴2a=|MF′|+|MF|=8a=4…．（4分）
即：a²=16，b²=a²-c²=12…．（6分）
∴橢圓C的方程為：

x2

16

+

y2

12

=1…．（7分）
（II）設l：y=x+m，聯(lián)立

x2 16 + y2 12 =1 y=x+m

可得：7x²+8mx+4m²-48=0…．（9分）
x_A+x_B=

-8m

7

    x_A•x_B=

4m2-48

7

∴|xA-xB|=

(xA+xB)2-4xA•xB

=

48(28-m2)

7

…．（11分）
∴四邊形ANBM的面積S=

1

2

|xA-xB|•|MN|=

3 48(28-m2)

7

即：S≤

24 21

7

…．（13分）
∵等號成立當且僅當m=0時，驗證m=0交點在直線MN兩側成立  …．（14分）
∴面積的最大值為

24 21

7

…．（15分）

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，橢圓的方程的求法，韋達定理的應用，二次函數(shù)的最值的應用，考查分析問題解決問題的能力．