【題目】如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為，，上、下頂點(diǎn)為，，記四邊形的內(nèi)切圓為.

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知圓的一條不與坐標(biāo)軸平行的切線交橢圓于P，M兩點(diǎn).

（i）求證：；

（ii）試探究是否為定值.

【答案】（1）；（2）（i）詳見解析；（ii）是定值.

【解析】

（1）由已知可得：直線的方程為：，利用四邊形的內(nèi)切圓為可求得內(nèi)切圓的半徑，問題得解。

（2）（i）設(shè)切線，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得：，即可求得，所以，問題得證。

（ii）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得：，即可求得：，同理可得：，問題得解。

（1）因?yàn)?/span>，分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則，坐標(biāo)分別為，可得直線的方程為：

則原點(diǎn)O到直線的距離為，則圓的半徑，

故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）（i）可設(shè)切線，

將直線的方程代入橢圓可得，由韋達(dá)定理得：

則，

又與圓相切，可知原點(diǎn)O到的距離，整理得，

則，所以，故.

（ii）由知，

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然，此時(shí)；

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：

代入橢圓方程可得，則，

故，

同理，

則.

綜上可知：為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|x+m|．

（l）當(dāng)m=l時(shí)，解不等式f（x）≥3；

（2）證明：對(duì)任意x∈R，2f（x）≥|m+1|-|m|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了保障某種藥品的主要藥理成分在國(guó)家藥品監(jiān)督管理局規(guī)定的值范圍內(nèi)，某制藥廠在該藥品的生產(chǎn)過程中，檢驗(yàn)員在一天中按照規(guī)定每間隔2小時(shí)對(duì)該藥品進(jìn)行檢測(cè)，每天檢測(cè)4次:每次檢測(cè)由檢驗(yàn)員從該藥品生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取20件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，測(cè)量其主要藥理成分含量(單位:mg).根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條藥品生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的產(chǎn)品的其主要藥理成分含量服從正態(tài)分布.

（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示某次抽取的20件產(chǎn)品中其主要藥理成分含量在之外的藥品件數(shù)，求(精確到0.001)及的數(shù)學(xué)期望；

（2）在一天內(nèi)四次檢測(cè)中，如果有一次出現(xiàn)了主要藥理成分含量在之外的藥品，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查；如果在一天中，有連續(xù)兩次檢測(cè)出現(xiàn)了主要藥理成分含量在之外的藥品，則需停止生產(chǎn)并對(duì)原材料進(jìn)行檢測(cè).

①下面是檢驗(yàn)員在某一次抽取的20件藥品的主要藥理成分含量:

10.02

9.78

10.04

9.92

10.14

10.04

9.22

10.13

9.91

9.95

10.09

9.96

9.88

10.01

9.98

9.95

10.05

10.05

9.96

10.12

經(jīng)計(jì)算得，.其中為抽取的第件藥品的主要藥理成分含量，.用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?

②試確定一天中需停止生產(chǎn)并對(duì)原材料進(jìn)行檢測(cè)的概率(精確到0.001).附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，則，

.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知F1、F2是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C上，且滿足.

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線l:交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)M（t，0），求mt的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，已知以F為圓心，FA為半徑的圓F交l于M.N點(diǎn).

（1）若，的面積為，求拋物線方程；

（2）若A.M.F三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到直線n、m距離的比值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓過點(diǎn)，且離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線的斜率為，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，求的面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)y＝f（x）圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心；

（Ⅱ）若函數(shù)，的零點(diǎn)為x1，x2，求cos（x1﹣x2）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某種水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果.某采購(gòu)商從采購(gòu)的一批水果中隨機(jī)抽取個(gè)，利用水果的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：

等級(jí)

標(biāo)準(zhǔn)果

優(yōu)質(zhì)果

精品果

禮品果

個(gè)數(shù)

10

30

40

20

（1）若將頻率是為概率，從這個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取個(gè)，求恰好有個(gè)水果是禮品果的概率.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）

（2）用樣本估計(jì)總體，果園老板提出兩種購(gòu)銷方案給采購(gòu)商參考.

方案：不分類賣出，單價(jià)為元.

方案：分類賣出，分類后的水果售價(jià)如下：

等級(jí)

標(biāo)準(zhǔn)果

優(yōu)質(zhì)果

精品果

禮品果

售價(jià)(元/kg）

16

18

22

24

從采購(gòu)單的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？

（3）用分層抽樣的方法從這個(gè)水果中抽取個(gè)，再?gòu)某槿〉?/span>個(gè)水果中隨機(jī)抽取個(gè)，表示抽取的是精品果的數(shù)量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓C經(jīng)過A（5，3），B（4，4）兩點(diǎn)，且圓心在x軸上.

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線l過點(diǎn)（5，2），且被圓C所截得的弦長(zhǎng)為6，求直線l的方程.

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