Question

【題目】已知橢圓Γ：的左，右焦點(diǎn)分別為F1(，0)，F2(，0)，橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，已知橢圓Γ上一異于A，B的點(diǎn)P，PA，PB的斜率分別為k1，k2，滿足.

（1）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過橢圓Γ左頂點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線AM和AN，分別交橢圓Γ于M，N兩點(diǎn)，問x軸上是否存在一定點(diǎn)Q，使得∠MQA=∠NQA成立，若存在，則求出該定點(diǎn)Q，否則說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；定點(diǎn)

【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)題意可得，結(jié)合橢圓的方程化簡可得，再由即可求解.

（2）根據(jù)設(shè)直線和的方程分別為和，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立求出、，設(shè)軸上存在一定點(diǎn)，使得成立，則，利用兩點(diǎn)求斜率化簡即可求得.

解：（1）設(shè)，

，，

則.

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由（1）可知左頂點(diǎn)，且過點(diǎn)的直線和的斜率存在，

設(shè)直線和的方程分別為和，

設(shè)，

聯(lián)立，

直線和橢圓交于兩點(diǎn)，

，

，

同理.

設(shè)軸上存在一定點(diǎn)，使得成立，則，

，則

，

，

即，解得.

因此軸上存在一定點(diǎn)，使得成立.