【題目】已知橢圓C:=1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),且橢圓C經過點P.

(1)求橢圓C的離心率;

(2)設過點A(0,2)的直線l與橢圓C交于M,N兩點,點Q是線段MN上的點,且,求點Q的軌跡方程.

【答案】見解析

【解析】

解:(1)由橢圓定義知,

2a=|PF1|+|PF2|

=2,

所以a=.

又由已知,得c =1,

所以橢圓C的離心率e=.

(2)由(1)知,橢圓C的方程為+y2=1.

設點Q的坐標為(x,y).

①當直線l與x軸垂直時,直線l與橢圓C交于(0,1),(0,-1)兩點,此時點Q的坐標為.

②當直線l與x軸不垂直時,設直線l的方程為y=kx+2.

因為M,N在直線l上,可設點M,N的坐標分別為(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),則|AM|2=(1+k2)x,|AN|2=(1+k2)x.

又|AQ|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2.

,得

,

.①

將y=kx+2代入+y2=1中,得

(2k2+1)x2+8kx+6=0.②

由Δ=(8k)2-4×(2k2+1)×6>0,

得k2>.

由②可知,x1+x2,x1x2,

代入①中并化簡,得x2.③

因為點Q在直線y=kx+2上,所以k=,代入③中并化簡,

得10(y-2)2-3x2=18.

由③及k2>,可知0<x2<

即x∈.

又點滿足10(y-2)2-3x2=18,故x∈.

由題意知Q(x,y)在橢圓C內,

所以-1≤y≤1.

又由10(y-2)2=18+3x2

(y-2)2,且-1≤y≤1,

則y∈.

所以點Q的軌跡方程為10(y-2)2-3x2=18,

其中x∈,y∈.

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