Question

8．如圖，正方形ABCD和菱形ACEF所在平面互相垂直，∠ACE=60°．四棱錐E-ABCD的體積是36$\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ABF
（Ⅱ）求四面體ABEF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出AB∥DC，AF∥CE，從而平面ABF∥平面CDE，由此能證明DE∥平面ABF．
（Ⅱ）連結AC、BD，相交于點O，連結EO，推導出EO⊥平面ABCD，BO⊥平面ACEF，四面體ABEF在面AEF上的高BO=3$\sqrt{3}$，由此能求出四面體ABEF的體積．

解答 證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是菱形，
∴AB∥DC，AF∥CE，且AB∩AF=A，CD∩CE=C，
∴平面ABF∥平面CDE，
∵DE?平面CDE，∴DE∥平面ABF．
解：（Ⅱ）連結AC、BD，相交于點O，連結EO，則O為AC的中點，
∵四邊形ACEF是菱形，∠ACE=60°，∴△ACE是正三角形，
∴EO⊥AC，
∵平面ABCD⊥平面ACEF，交線為AC，
∴EO⊥平面ABCD，
同理，得BO⊥平面ACEF，
設正方形ABCD的邊長為a，則AC=BD=$\sqrt{2}a$，BO=$\frac{\sqrt{6}}{2}a$，
∴V_E-ABCD=$\frac{1}{3}{a}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}a=\frac{\sqrt{6}}{6}{a}^{3}=36\sqrt{6}$，解得a=6，
∴${S}_{△AEF}=\frac{1}{2}×（\sqrt{2}a）^{2}×sin60°=18\sqrt{3}$，
四面體ABEF在面AEF上的高BO=3$\sqrt{3}$，
∴四面體ABEF的體積${V}_{B-AEF}=\frac{1}{3}×18\sqrt{3}×3\sqrt{2}$=18$\sqrt{6}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查四面體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．