Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱BC的中點(diǎn)．
（1）求證：BD₁∥平面C₁DE；
（2）試在棱CC₁上求一點(diǎn)，使得平面A₁B₁P⊥平面C₁DE．

Answer 1

解：（1）證明：連CD₁交C₁D于O點(diǎn)，連OE，
因?yàn)镺是CD₁的中點(diǎn)，所以，OE∥BD₁，所以，BD₁∥平面C₁DE．
（2）過B₁點(diǎn)作C₁E的垂線，并延長，交CC₁于P點(diǎn)．
在正方形BCC₁B₁中，易證Rt△B₁C₁P≌Rt△C₁CE，得P是CC₁的中點(diǎn)．
因?yàn)锳₁B₁⊥平面B₁C，C₁E?平面B₁C，所以A₁B₁⊥C₁E，
又因?yàn)镃₁E⊥B₁P，所以，C₁E⊥平面A₁B₁P，
所以平面A₁B₁P⊥平面C₁DE，故取CC₁的中點(diǎn)P，就有平面A₁B₁P⊥平面C₁DE．
分析：（1）連CD₁交C₁D于O點(diǎn)，連OE，根據(jù)OE是三角形CBD₁的中位線，可得OE∥BD₁，所以，BD₁∥平面C₁DE．
（2）過B₁點(diǎn)作C₁E的垂線，并延長交CC₁于P點(diǎn)，可證P是CC₁的中點(diǎn)，再由A₁B₁⊥C₁E 可得，C₁E⊥平面A₁B₁P，
故有平面A₁B₁P⊥平面C₁DE．
點(diǎn)評：本題考查證明線面平行、線面垂直的方法，直線和平面平行的判定，面面垂直的判定，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，證明C₁E⊥平面A₁B₁P，是解題的關(guān)鍵．