Question

【題目】已知函數(shù)，其中，為的導函數(shù)，設，且恒成立.

（1）求的取值范圍；

（2）設函數(shù)的零點為，函數(shù)的極小值點為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）先對函數(shù)求導，得到，推出，求導，得到，解對應不等式，得到單調(diào)性，求出其最小值，再根據(jù)恒成立，即可得出結果；

（2）先設，求導得.

設，對其求導，判定單調(diào)性，從而得到函數(shù)單調(diào)性，得到是函數(shù)的極小值點，得到，再由（1）得時，，推出所以，得到，得到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，再由題意，即可得出結論成立.

（1）由題設知，，

，，

由，得，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；

由，得，所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).

故在處取得最小值，且.

由于恒成立，所以，得，

所以的取值范圍為；

（2）設，則.

設，

則，

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由（1）知，，

所以，，

故存在，使得，

所以，當時，，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當時，，，函數(shù)單調(diào)遞增.

所以是函數(shù)的極小值點.因此，即.

由（1）可知，當時，，即，整理得，

所以.

因此，即.

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

由于，即，

即，

所以.

又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.