Question

（14分）設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)時，求的極值；
（2）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對任意及，恒有成立，求的取值范圍

Answer 1

（Ⅰ）的極小值為，無極大值 .
（Ⅱ）當(dāng)時，的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為.
當(dāng)時，在單調(diào)遞減.
當(dāng)時，的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為.
（Ⅲ） .

試題分析：（1）將a=0代入函數(shù)解析式中可知，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后運用導(dǎo)數(shù)的符號與單調(diào)性的關(guān)系求解單調(diào)區(qū)間，并得到極值。
（2）當(dāng)a>0時，利用導(dǎo)函數(shù)，對于參數(shù)a，進(jìn)而分類討論研究其單調(diào)性，看開口和判別式得到。
(3)要證明不等式恒成立，只要利用第二問的結(jié)論根據(jù)最大值和最小值得到求解。
解：（Ⅰ）依題意，知的定義域為.
當(dāng)時， ，.
令，解得.
當(dāng)時，；當(dāng)時， .
又，
所以的極小值為，無極大值 . …………………………（4分）
（Ⅱ）

當(dāng)時，，
令，得或，
令，得；
當(dāng)時，得，
令，得或，
令，得；
當(dāng)時，.
綜上所述，當(dāng)時，的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為.
當(dāng)時，在單調(diào)遞減.
當(dāng)時，的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為.
…………………………………（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)時，在單調(diào)遞減.
當(dāng)時，取最大值；當(dāng)時，取最小值.
所以
.………………（11分）
因為恒成立，
所以，
整理得.
又 所以，
又因為 ，得，
所以
所以 . ……………………………………………………………（14分）
點評：解決該試題的關(guān)鍵是對于含有參數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號的確定，需要分類討論思想來得到。