Question

已知拋物線y²=16x的焦點(diǎn)為F，直線y=k（x-4）與此拋物線相交于P，Q兩點(diǎn)，則

1

|FP|

+

1

|FQ|

=（　�。�

• A、1
• B、

  1

  2

• C、

  1

  4

• D、

  1

  8

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由拋物線y²=16x可得焦點(diǎn)F（4，0），因此直線y=k（x-4）過(guò)焦點(diǎn)．把直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式即可得出．

解答： 解：由拋物線y²=16x可得焦點(diǎn)F（4，0），
因此直線y=k（x-4）過(guò)焦點(diǎn)．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．，則|FP|=x₁+4，|FQ|=x₂+4．
聯(lián)立

y=k(x-4) y2=16x

．化為k²x²-（16+8k²）x+16k²=0（k≠0）．
∵△＞0，∴x₁+x₂=

16+8k2

k2

，x₁x₂=16．
∴

1

|FP|

+

1

|FQ|

=

1

x1+4

+

1

x2+4

=

(x1+x2)+8

x1x2+4(x1+x2)+16

=

16 k2 +16

32+4(8+ 16 k2 )

=

1

4

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題，注意運(yùn)用定義法解題，考查聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，屬于中檔題．