【題目】雙曲線經(jīng)過點,兩條漸近線的夾角為,直線交雙曲線于、.

(1)求雙曲線的方程;

(2)若過原點,為雙曲線上異于、的一點,且直線、的斜率為,證明:為定值;

(3)若過雙曲線的右焦點,是否存在軸上的點,使得直線繞點無論怎樣轉(zhuǎn)動,都有成立?若存在,求出的坐標,若不存在,請說明理由.

【答案】(1)

(2)證明見解析

(3)存在,.

【解析】

(1)根據(jù)雙曲線所過的點和漸近線的夾角可得關于的方程組,解該方程組后可得雙曲線的標準方程.

(2)設,,用三點的坐標表示,再利用點滿足的方程化簡前者可得所求的定值.

(3)設直線,,,根據(jù)可得恒等式,聯(lián)立直線方程和雙曲線方程后利用韋達定理化簡前者可得,從而得到所求的定點.

1)雙曲線的漸近線方程為,

因為兩條漸近線的夾角為,故漸近線的傾斜角為,

所以.

,故 (無解),故,

所以雙曲線.

2)設,

,,所以,

因為,所以,

所以為定值.

3)雙曲線的右焦點為

當直線的斜率存在時,設直線的方程為:,設,

因為,所以,

整理得到①,

可以得到,

因為直線與雙曲線有兩個不同的交點,

,

所以.

由題設有①對任意的總成立,

,

所以①可轉(zhuǎn)化為,

整理得到對任意的總成立,

,故即所求的定點的坐標為.

當直線的斜率不存在時,則,此時,

此時.

綜上,定點的坐標為.

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