已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F作C的兩條互相垂直的弦AB、CD,設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M、N

(Ⅰ)證明直線MN必過(guò)定點(diǎn),并求出這點(diǎn)的坐標(biāo);

(Ⅱ)分別以AB、CD為直徑作圓,求兩圓相交弦的中點(diǎn)H的軌跡方程.

答案:
解析:

  解:(Ⅰ)設(shè)直線AB

  代入得:,  2分

  ∴,,故.  3分

  因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1366/0021/54e19ff8ec5accf73d6cc5e771c19e0e/C/Image114.gif" width=66 height=18>,所以將點(diǎn)坐標(biāo)中的換成,得.  4分

  因此直線MN,整理得

  故不論為何值,直線必過(guò)定點(diǎn).  6分

  (Ⅱ)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1366/0021/54e19ff8ec5accf73d6cc5e771c19e0e/C/Image124.gif" width=33 HEIGHT=20>、都與拋物線的準(zhǔn)線相切,半徑分別為,從而

  ,

  .  8分

  兩式相減并整理,得公共弦所在直線方程為:

  ,  9分

  又,

  故公共弦所在直線過(guò)原點(diǎn),所以

  所以,點(diǎn)的軌跡方程是以為直徑的圓(除取直徑的兩個(gè)端點(diǎn)),

  其軌跡方程為.  12分


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已知拋物線C:y2=8x與點(diǎn)M(-2,2),過(guò)C的焦點(diǎn),且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn),若·=0,則k=

[  ]

A.

B.

C.

D.2

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如圖,已知拋物線C:y2=4x,過(guò)點(diǎn)A(1,2)作拋物線C的弦AP,AQ.

(Ⅰ)若AP⊥AQ,證明直線PQ過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo);

(Ⅱ)假設(shè)直線PQ過(guò)點(diǎn)T(5,-2),請(qǐng)問(wèn)是否存在以PQ為底邊的等腰三角形APQ?若存在,求出△APQ的個(gè)數(shù)?如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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已知拋物線Cy2=4x的焦點(diǎn)為F,直線y=2x-4與C交于A,B兩點(diǎn),則cos∠AFB=(   )

A.         B.           C.-       D.-

 

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(本小題滿分12分)

已知拋物線Cy2=2px(p>0)過(guò)點(diǎn)A(1,-2).

(1)求拋物線C的方程,并求其準(zhǔn)線方程;

(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l,使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn),且直線OAl的距離等于?若存在,求直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

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